Connexion (mathématiques)

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.

Transport parallèle sur une sphère

Connexion de Koszul

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954.

Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ de vecteurs X sur B, une section globale notée $\scriptstyle \nabla _{X}s$ vérifiant :

1. L'application $\scriptstyle X\mapsto \nabla _{X}s$ est $\scriptstyle C^{\infty }(M)$-linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière $f$, on a :

   $\nabla _{f\cdot X}s=f\cdot \nabla _{X}s$.

2. la relation de Leibniz :

   $\nabla _{X}(f\cdot s)=df(X)\cdot s+f\cdot \nabla _{X}s$.

La relation de Leibniz démontre que la valeur de $\scriptstyle \nabla _{X}s$ en un point b de B ne dépend que des variations de $s$ au voisinage de b. La $\scriptstyle C^{\infty }(M)$-linéarité implique que cette valeur ne dépend que de $X(p)$. Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité $\nabla _{X}s$ pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.

Connexion d'Ehresmann

Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.

Connexion de Levi-Civita

Une métrique riemannienne g de classe $C^{k}$ sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur $T_{x}M$, appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :

1. ∇ est sans torsion : pour tous champs de vecteurs $X$ et $Y$,$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ ;
2. $g$ est parallèle : pour tous champs de vecteurs $X$, $Y$ et $Z$, on a :

$Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$.

Voir aussi

• Chariot pointant le sud
• Connexion affine
• Courbure
• Dérivée covariante
• Géodésique
• Holonomie
• Variété riemannienne

Notes et références

Références

• (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry, 2003 [détail de l’édition]
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]