Octaèdre régulier

Un octaèdre régulier est un solide à huit faces polygonales égales. Le préfixe octa, huit, indique le nombre de faces.  Le suffixe èdre signifie face plane.  Un octaèdre régulier est convexe. Les huit faces polygonales d’un octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux, qui sont isométriques.  L'octaèdre régulier a douze arêtes égales.

Son symbole de Schläfli est {3, 4},  car il a trois sommets par face,  et quatre faces par sommet.

L’octaèdre régulier est le solide de Platon associé à l’air dans l’Antiquité gréco‑romaine.

Grandeurs caractéristiques

Octaèdre

Éléments

Faces	Arêtes	Sommets
8 triangles équilatéraux	12	6 de degré 4

Données clés

Type	Polyèdre régulier
Références d'indexation	U05 – C17 – W002
Symbole de Schläfli	{3,4}
Symbole de Wythoff	4|2 3
Diagramme C-D
Caractéristique	2
Propriétés	Deltaèdre convexe
Volume (arête a)	${1 \over 3}\,{\sqrt {2}}\;a^{3}$
Aire de surface	$2\;{\sqrt {3}}\;a^{2}$
Angle dièdre	$2\,\arctan {\sqrt {2}}\;\approx 109{,}47^{\,\circ }$
Groupe de symétrie	Oh
Dual	Cube

Si  a  est la longueur d’une arête :

• la distance entre 2 sommets opposés est $\quad a\,{\sqrt {2}}\;;$
• le rayon de sa sphère circonscrite est $\quad R={\frac {a\,{\sqrt {2}}}{2}}\;;$
• son angle dièdre est $\quad \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109{,}47^{\,\circ }\;;$
• le rayon de sa sphère inscrite est $\quad r={\frac {a\,{\sqrt {6}}}{6}}\;;\;$ son diamètre   $2\,r=a\,{\sqrt {\frac {2}{3}}}\;$ est donc la distance entre deux faces opposées de l’octaèdre,  ou l’une de ses hauteurs,  mesurée verticalement quand une face du solide est horizontale ;
• son aire est $\quad 2\,{\sqrt {3}}\cdot a^{2}\;;$
• son volume est $\quad {\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}\;;$
• les 6 points de coordonnées $\;(\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}},0,0)$, $(0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}},0)\;$ et $\;(0,0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}})\;$ sont les sommets d’un octaèdre régulier centré sur l’origine du repère cartésien.

Propriétés

Les arêtes de l'octaèdre sont les côtés de trois carrés concentriques,  dans trois plans deux à deux sécants à angle droit selon une diagonale,  à la fois diagonale des deux carrés et diagonale du solide.  Le centre commun des carrés est à la fois le centre de symétrie de l’octaèdre,  son centre de gravité,  et le centre de ses sphères circonscrite et inscrite.

Étoilement et dualité

Cube  et  octaèdre  régulier  sont  duaux
l’un  de  l’autre.   Trois  polyèdres  réguliers  partagent
les  trois  sections  carrées :   les  deux  tétraèdres,
qui  ont  chacun  quatre  sommets  du  cube,
et  l’octaèdre  leur  intersection.

À partir d’un cube,  on peut construire un octaèdre régulier son dual,  en plaçant ses sommets aux centres des six faces du cube.  Cela revient à tronquer le cube par huit plans,  passant chacun par les trois sommets les plus proches du sommet éliminé.  Inversement l’étoilement d’un octaèdre régulier :  une paire de tétraèdres réguliers symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre,  a pour enveloppe convexe un cube.

Exemples

Dans les jeux

L'octaèdre régulier est utilisé comme dé à jouer, particulièrement dans les jeux de rôle.

En cristallographie

Certains cristaux comme la fluorine forment un octaèdre régulier.

En chimie

Certaines molécules peuvent avoir une géométrie moléculaire octaédrique.

Généralisation

L'hyperoctaèdre, ou n-octaèdre, est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.

L'hyperoctaèdre est, avec son dual l'hypercube et le n-simplexe, un des trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n. Les polytopes réguliers sont en effet une infinité en dimension 2 (voir polygone régulier), 5 en dimension 3 (voir solide de Platon), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme Ludwig Schläfli l'a démontré.

Le symbole de Schläfli d'un n-octaèdre est de la forme {3, 3, 3, … , 3, 4} avec n – 1 chiffres.

Les coordonnées des sommets d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1, 0, 0, … , 0, 0).

Les premiers hyperoctaèdres

Hyperoctaèdre	Carré	Octaèdre	Hexadécachore ou 16-cellules	5-octaèdre
Dimension	2	3	4	5
Sommets	4	6	8	10
Représentation

Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier

L'hypervolume d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit a son arête.

Pour construire un (n + 1)-octaèdre, on relie les 2n sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus et à un nouveau point au-dessous.

• Ainsi, un segment dont les extrémités sont reliées à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un carré (on supposera que les points ont été placés de sorte à donner un hyperoctaèdre régulier).
• Un carré dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point au-dessous donne un octaèdre.
• Un octaèdre dont les sommets sont reliés à un point au-dessus et à un point en dessous (situés dans une autre dimension) donne bien un hexadécachore.

L'hyperoctaèdre est donc une double hyperpyramide (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Étant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est également celle de ses faces hyperoctaédriques de dimensions inférieures, car tous les sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est donc le même pour toute dimension n : $R_{n}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}$.

L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur $R_{n}$. On en déduit donc que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête a vaut :

$V_{n}={\frac {V_{n-1}\times R_{n}}{n}}\times 2={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}}$.

Exemples :

• Aire du carré : $V_{2}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{2}}{1\times 2}}=a^{2}$
• Volume de l'octaèdre régulier : $V_{3}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{3}}{1\times 2\times 3}}={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{3}}$ ;
• Hypervolume de l'hexadécachore : $V_{4}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{4}}{1\times 2\times 3\times 4}}={\frac {a^{4}}{6}}$ ;
• …

(On suppose dans cette formule que le seul n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à a est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur $a{\sqrt {2}}$ (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté a avec la méthode de construction donnée)

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Octaèdre » (voir la liste des auteurs).