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Analyse isogéométrique

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L'analyse isogéométrique (AIG) (isogeometric analysis, IGA) est une méthode de calcul numérique dont le développement a commencé en 2005[1] et consistant à utiliser des splines, et plus généralement des NURBS, dans la méthode des éléments finis (MÉF). Les NURBS étant largement utilisées en conception assistée par ordinateur (CAO), cette méthode permet entre autres un meilleur couplage des logiciels.

Dans les logiciels de CAO, les formes géométriques sont délimitées par des surfaces courbes décrites par des NURBS, des fonctions polynomiales par partie. Dans la MÉF « classique », les volumes géométriques sont maillés, découpés en polyèdres (hexaèdres/cubes, tétraèdres, prismes…), dont les arêtes peuvent éventuellement être courbes (éléments dits « quadratiques »). Lors du passage de la CAO à la MÉF, il est donc nécessaire de convertir le modèle géométrique numérique ; cette opération appelée « maillage » est un des points critiques de la MÉF car elle conditionne à la fois la qualité des résultats et le temps de calcul.

La méthode de l'analyse isogéométrique utilise directement des géométries décrites par des NURBS pour les calculs par éléments finis, ce qui permet d'utiliser les mêmes données pour la conception (dessin) et le calcul, facilitant ainsi la paramétrisation des modèles (le fait d'avoir des dimensions définies par des variables ajustables et non pas par des valeurs fixes) et les rétroactions calculs-conception, dans le cadre d'un ingénierie assistée par ordinateur (IAO)[2].

Les pionniers de cette technique sont l'équipe de Thomas J.R. Hughes de l'Université d'Austin. Cette méthode a été mise en œuvre dans un logiciel libre de référence, GeoPDEs[3],[4]. Il existe d'autres logiciels mettant en œuvre cette méthode, comme PetIGA[5] qui est un cadre ouvert pour faire de l'analyse géométrique à haute performance reposant sur PETSc ou G+Smo[6] qui est une bibliothèque source ouvert de C++. Vinh Phu Nguyen[7] de l'Université de Cardiff a également développé un module AIG pour Matlab nommé MIGFEM, et qui applique la méthode à l'étude de la fissuration en 2D et 3D (AIG enrichie par la partition de l'unité)[8].

Points communs entre MÉF et CAO

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La méthode des éléments finis est une méthode d'interpolation : les valeurs sont calculées en des points particuliers, les points de Gauss, et sont ensuite extrapolés aux nœuds (et à tous les points d'une maille) par des fonctions polynomiales.

Les NURBS sont également des fonctions d'interpolation : on définit un nombre donné de points de contrôle, ces points définissent une fonction polynomiale continue.

Dans les deux cas, on peut se ramener à un espace paramétrique, un maillage composé d'éléments « idéaux » :

  • dans le cas d'un maillage surfacique d'éléments finis, à une maille quadrilatérale correspond un carré dont les angles ont pour coordonnée 1 ou -1 ; à une maille triangulaire correspond triangle rectangle isocèle dont les angles ont pour coordonnées 0 ou 1 ;
  • dans le cas d'une NURBS, celle-ci est générée par les points de contrôle que l'on peut faire correspondre à un maillage carré.

Différences entre MÉF et CAO

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Cas d'une NURBS définie par quatre points : s'il s'agit de la frontière d'un domaine matériel convexe, alors seuls les points P0 et P3 ont un sens physique ; les points P1 et P2 sont hors du domaine matériel.

Il existe toutefois une différence fondamentale entre les éléments finis et les NURBS :

  • dans le cas des éléments finis, les points utilisés, les nœuds du maillage, font partie de l'objet physique analysé ;
  • dans le cas des NURBS, les points utilisés sont des points de contrôle ; ils servent à générer la fonction, mais ne font pas nécessairement partie du domaine matériel, ils n'ont pas de sens physique.

Notes et références

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  1. ↑ Thomas J. R. Hughes, J.A. Cottrell et Y. Bazilevs, « Isogeometricanalysis : CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement », Comput Methods Appl Mech Eng, no 194,‎ , p. 4135–4195
  2. ↑ (en) J. Austin Cottrell, Thomas J. R. Hughes et Yuri Bazilevs, Isogeometric Analysis : Toward Integration of CAD and FEA, John Wiley & Sons, , 360 p. (ISBN 978-0-470-74873-2, présentation en ligne)
  3. ↑ (en) « GeoPDEs: a free software tool for isogeometric analysis of PDEs », (consulté le )
  4. ↑ C. de Falco, A. Reali et R. Vázquez, « GeoPDEs : a research tool for Isogeometric Analysis of PDEs », Adv. Eng. Softw., vol. 42,‎ , p. 1020–1034
  5. ↑ « PetIGA: A framework for high performance Isogeometric Analysis », (consulté le )
  6. ↑ « gismo », sur gs.jku.at (consulté le )
  7. ↑ « Dr. Vinh Phu Nguyen », sur Université de Cardiff
  8. ↑ « IGAFEM », sur Sourceforge

Bibliographie

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  • Cédric Adam, Salim Bouabdallah, Malek Zarroug et Habibou Maitournam, « Formulation d’un élément coque en analyse isogéométrique pour la simulation du choc », Colloque national en calcul des structures, no 11,‎ (lire en ligne)
  • J. Réthoré et T. Elguedj, « Analyse isogéométrique et corrélation d’images », Congrès français de mécanique, no 19,‎ (lire en ligne)

Liens externes

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