D'alembertien

Le d'alembertien, ou opérateur d'alembertien, est la généralisation du concept du laplacien dans une métrique minkowskienne. Il apparaît en particulier en électromagnétisme pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques ainsi que dans l'équation de Klein-Gordon.

Le d'alembertien est ainsi désigné à la suite de Hendrik Lorentz (1853-1928). Son éponyme est Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) qui l'a découvert en 1747.

Formule

Le d'alembertien, en général noté par un carré $\Box$, s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

$\Box =-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ , où c est la vitesse de la lumière ou, d'une manière plus générale, la célérité de l'onde (qui peut être acoustique) ; on peut l'écrire en fonction du laplacien par :

$\Box =-\Delta +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski η_ab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

$\Box =\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\partial ^{\mu }\partial _{\mu },$

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

Application

Le d'alembertien apparait dans l'équation d'onde du quadripotentiel électromagnétique et est, d'une manière plus générale, l'équation qui modélise toute propagation d'une onde acoustique ou électromagnétique :

$\Box A^{\mu }=0.$

L'équation de Klein-Gordon fait également intervenir l'opérateur :

$(\Box +m^{2})\psi =0.$

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales

• [Lorentz 1909] (en) Hendrik A. Lorentz, The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat [« La théorie des électrons et ses applications aux phénomènes lumineux et de chaleur rayonnante »], Leipzig, B. G. Teubner, coll. « Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen » (n^o 29), 1909, 1^re éd., [4]-332, 16 × 24 cm (OCLC 490169299, BNF 45879231, SUDOC 020377169, lire en ligne).

Manuels d'enseignement supérieur

• [Pérez 2016] José-Philippe Pérez (avec la collab. d'Éric Anterrieu), Relativité : fondements et applications, Paris, Dunod, hors coll., mai 2016, 3^e éd., XXIII-439 p., 17,7 × 24 cm (ISBN 978-2-10-077295-7, EAN 9782100772957, OCLC 949876980, BNF 45033071, SUDOC 193153297, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Reusse 2012] François A. Reuse, Électrodynamique, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Traité de physique », 20 septembre 2012, 1^re éd., XXIV-615 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-2-88074-878-4, EAN 9782880748784, OCLC 826838429, BNF 43525185, SUDOC 165165359, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Semay et Silvestre-Brac 2021] Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences sup », novembre 2021, 4^e éd. (1^re éd. octobre 2005), X-309 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-082836-4, EAN 9782100828364, OCLC 1286364270, BNF 46915115, SUDOC 258655097, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Ivanov 1989] (en) A. B. Ivanov, « d'Alembert operator », dans Michiel Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics, t. III : D – Feynman measure, Dordrecht, Boston et Londres, Reidel, Kluwer Academic, 1989, 1^re éd., IX-491 p., 31 cm (ISBN 1-556-08002-6, EAN 9781556080029, OCLC 491733089, BNF 37357904, DOI 10.1007/978-94-009-5994-1, SUDOC 07547509X, lire en ligne), p. 5.
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. d'alembertien, p. 184, col. 1.

Articles connexes

• Équation de d'Alembert
• Métrique minkowskienne

Liens externes

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Treccani