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Théorème de Bolzano-Weierstrass

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En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après les mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, énonce

Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.

ce qui peut se reformuler en termes de valeurs d'adhérence :

Toute suite réelle bornée a au moins une valeur d'adhérence.

Le théorème s'exprime également sous une forme plus topologique :

Toute partie fermée bornée de est séquentiellement compacte.

Enfin, on peut généraliser le théorème à , ou encore à tout espace vectoriel normé de dimension finie sur .

Démonstration (cas réel)

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Il existe au moins deux démonstrations usuelles de ce théorème.

La première fait appel à l'extraction d'une suite monotone. Considérons une suite réelle bornée. Elle admet une sous-suite monotone (cf. propriétés des sous-suites), qui est également bornée. Par le théorème de la limite monotone, cette sous-suite converge.

La seconde preuve s'appuie sur une dichotomie[1],[2],[3]. Soit une suite réelle bornée. Soit un minorant et un majorant de . On pose . Notons le milieu de l'intervalle . Tous les termes de sont dans , et il y en a une infinité, donc il y en a une infinité dans au moins l'un des deux intervalles et . Itérons le processus : posons ou de sorte qu'il y ait une infinité de termes de dans , et posons le milieu de . À nouveau, il y a une infinité de termes de dans ou dans , et on peut continuer infiniment. Les suites et sont adjacentes car est croissante, est décroissante et l'écart entre les deux est divisé par 2 à chaque étape. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune . On pose , et pour tout , on choisit comme le plus petit entier strictement supérieur à tel que appartienne à , ce qui est possible car une infinité de termes de appartiennent à . Alors, par le théorème des gendarmes, la suite extraite de tend vers .

Généralisation aux ℝ-espaces vectoriels normés de dimension finie

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Le théorème s'applique toujours en remplaçant par un -espace vectoriel normé de dimension finie. En particulier, il est vrai dans muni du module complexe.

Cette généralisation peut se prouver à partir du cas réel. Soit un -espace vectoriel normé de dimension finie , assimilé sans perte de généralité à muni d'une norme , et soit une suite bornée de vecteurs. On remarque que la suite des premières coordonnées est bornée. En appliquant le théorème dans le cas réel, on extrait une sous-suite de vecteurs telle que les premières coordonnées convergent. On extrait alors de cette sous-suite une sous-sous-suite qui fait converger les deuxièmes coordonnées des vecteurs, et ainsi de suite jusqu'aux -ièmes coordonnées. La sous-suite ainsi obtenue converge dans .

Lien avec la compacité

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Une généralisation du théorème affirme qu'un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.

Cet énoncé peut se décomposer en :

  • Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

Notes et références

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  1. D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 126-127.
  2. F. Denizet, Analyse MPSI, Nathan, (lire en ligne), p. 108.
  3. Démonstration de cette version faible du théorème de Bolzano-Weierstrass sur Wikiversité.
  4. Pour une variante, voir (en) Jacques Dixmier (trad. du français), General Topology [« Topologie générale »], Springer, (lire en ligne), p. 52.

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Article connexe

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Lemme de Cousin

Bibliographie

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  • Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
  • Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995