Momento de inercia

En Mecánica, o momento de inercia mide a distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación. Un momento de inercia elevado significa que é preciso aplicar unha forza elevada para que o corpo pare de xirar. Contribúe máis ao xiro a porción de masa que está afastada do eixo de xiro. Un eixo xirante fino e longo, coa mesma masa dun disco que xira en relación ao seu centro, terá un momento de inercia menor que este. A unidade de medida, no SI, é quilogramo metro ao cadrado (kg•m²).

Momento de inercia dunha masa respecto dun eixo:

I_{eixo}=\int r^{2}\,dm\,\!

Momento de inercia polar (respecto dun punto):

I_{0}=\int r^{2}\,dm\,\!

Momento de inercia planario (respecto dun plano):

I_{plano}=\int r^{2}\,dm\,\!

Cálculo

Por definición, o momento de inercia $I\,\!$ dunha partícula de masa $m\,\!$ e que xira en torno dun eixo, a unha distancia $r\,\!$ del, é

I=mr^{2}

Se un corpo é constituído de $n$ masas puntuais (partículas), o seu momento de inercia total é igual á suma dos momentos de inercia de cada masa elemental:

I=\sum _{k=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}

onde $m_{i}$ é a masa de cada partícula, e $r_{i}$ é a súa distancia ao eixo de rotación.

Para un corpo ríxido, podemos transformar esa sumatoria nunha integral, integrando para todo o volume $V\,\!$ do corpo o produto da masa $m\,\!$ en cada punto polo cadrado da distancia $r\,\!$ até o eixo de rotación:

I=\int _{V}r^{2}\,dm\,\!

Hai varios valores coñecidos para o momento de inercia de certos tipos de corpos ríxidos. Algúns exemplos (asumindo distribución uniforme de masa):

Para un cilindro macizo de masa $M$ e raio da base $R$ , en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
$I={\frac {1}{2}}MR^{2}$
Para unha esfera maciza de masa $M$ e raio $R$ , en torno de seu centro:
$I={\frac {2}{5}}MR^{2}$
Para un anel cilíndrico de masa $M$ e raio $R$ , en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
$I=MR^{2}$

Teoremas fundamentais

O momento de inercia respecto a un polo é a suma dos tres momentos de inercia planario respecto a tres planos perpendiculares entre si e que se cortan en dito polo (punto):

dI_{O}=dI_{XOY}+dI_{YOZ}+dI_{ZOX}

O momento de inercia axial é a suma dos momentos de inercia respecto a dous planos perpendiculares que se cortan en dito eixo:

dI_{OX}=dI_{ZOX}+dI_{XOY}

dI_{OY}=dI_{XOY}+dI_{YOZ}

dI_{OZ}=dI_{YOZ}+dI_{ZOX}

A suma dos momentos de inercia planarios respecto a tres planos perpendiculares entre si é a semisuma dos momentos de inercia axiais, respecto a tres eixos perpendiculares obtidos en ditos planos:

dI_{O}=(dI_{XO}+dI_{YO}+dI_{ZO})/2

Teorema de Steiner ou teorema dos eixes paralelos

O teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que o momento de inercia con respecto a calquera eixo paralelo a un eixo que pasa polo centro de masa, é igual ao momento de inercia con respecto ao eixo que pasa polo centro de masa máis o produto da masa polo cadrado da distancia entre os dous eixos:

I_{eixo}=I_{eixo}^{(CM)}+Mh^{2}\,

onde: I_eixo é o momento de inercia respecto ao eixe que non pasa polo centro de masa; I^(CM)_eixe é o momento de inercia para un eixo paralelo ao anterior que pasa polo centro de masa; M é a masa total; e h a Distancia entre os dous eixos paralelos considerados.

A demostración deste teorema resulta inmediata se se considera a descomposición de coordenadas relativa ao centro de masas C ${\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h}$ inmediata:

I_{eixo}=\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int _{V}\mathbf {r} _{G}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm

I_{eixo}=I_{eixo}^{(CM)}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{=0}+Mh^{2}

onde o segundo termo é nulo posto que a distancia vectorial media de masa en torno ao centro de masas é nula, pola propia definición de centro de masa.

O centro de gravidade e o centro de masa poden non ser coincidentes, dado que o centro de masa só depende da xeometría do corpo, en cambio, o centro de gravidade depende do campo gravitacional no que se acha o corpo.

Véxase tamén

Outros artigos