אנרגיה פוטנציאלית

אֵנֶרְגִּיָּה פּוֹטֶנְצִיָּאלִית היא אנרגיה האצורה בגוף כלשהו כתוצאה מכוח הפועל עליו, או בתוכו. אנרגיה פוטנציאלית ניתנת להמרה לצורות שונות של אנרגיה – אנרגיה קינטית, אנרגיית חום או אנרגיה פוטנציאלית מסוג אחר, ולבצע עבודה ("פוטנציאל" משמעו סך היכולות או האפשרויות הגלומים בדבר מה).

הגדרה

גרף של אנרגיה פוטנציאלית של גוף כתלות במיקומו. הגרף מכיל בור פוטנציאל, והכוח פועל בכיוון תחתית הבור המהווה נקודת שיווי משקל יציב.

כאשר פועל על גוף כוח לאורך דרך, מתבצעת עליו עבודה. אם הכוח הוא כוח משמר, עבודה זו תלויה רק בהעתק נקודות הקצה שביניהן פעל הכוח (ולא במסלול התנועה). במקרה כזה ניתן להגדיר את האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף שנע בהשפעת הכוח כתלות במיקומו במרחב כעבודה שמבצע הכוח על גוף כאשר הוא נע מנקודת ייחוס עד לנקודה זו במסלול כלשהו. מאחר שהכוח משמר, העבודה תלויה רק בנקודות הקצה, והאנרגיה הפוטנציאלית של הגוף תלויה רק בהעתק שלו:

E_{p}=U({\vec {r}})

.

במערכת שבה פועלים רק כוחות משמרים, האנרגיה המכנית (סכום האנרגיה הפוטנציאלית והאנרגיה הקינטית) משתמרת:

\ E_{k}+E_{p}=const

,

או בניסוח שקול:

\ -\Delta E_{p}=\Delta E_{k}

כאשר מושקעת בגוף מסוים אנרגיה על מנת להביאו למיקום מסוים ואנרגיה זו לא נפלטת בחזרה לסביבה, האנרגיה שהושקעה נאצרת בגוף כתוספת לאנרגיה הפוטנציאלית. את התוספת לאנרגיה הפוטנציאלית ניתן לחשב באמצעות אינטגרציה של הכוח לאורך המסלול מהמיקום ההתחלתי עד למיקום החדש:

$\Delta U=U_{f}-U_{i}=-\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {dl}}$

כאשר ${\vec {dl}}$ הוא אלמנט דיפרנציאלי מתוך מסלול שכיוונו מהנקודה ההתחלתית לנקודה הסופית. תוצאת האינטגרל אינה תלויה בבחירת המסלול, לכן לרוב נוח לבחור מסלול ש'רץ' על כל קואורדינטה בנפרד. לדוגמה, בקואורדינטות קרטזיות:

$\Delta U=-\int _{x_{min}}^{x_{max}}{{\vec {F}}\cdot {\vec {dx}}}-\int _{y_{min}}^{y_{max}}{{\vec {F}}\cdot {\vec {dy}}}-\int _{z_{min}}^{z_{max}}{{\vec {F}}\cdot {\vec {dz}}}$

(כיוון הווקטורים ${\vec {dx}},{\vec {dy}},{\vec {dz}}$ הוא כיוון המסלול ולאו דווקא הכיוון החיובי של הצירים.)

הכוח הפועל על הגוף הנובע מהאנרגיה הפוטנציאלית יפעל בכיוון שבו האנרגיה הפוטנציאלית קטנה, וגודל הכוח הוא נגזרת האנרגיה הפוטנציאלית לפי קואורדינטה (בדרך כלל מיקום). במרחב התלת־ממדי הכוח הוא הגראדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית:

\ {\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}U({\vec {r}})

כוח זה מקטין את האנרגיה הפוטנציאלית וממיר אותה לסוג אחר של אנרגיה, לרוב לאנרגיה קינטית או לחום. לכן, האנרגיה הפוטנציאלית היא העבודה שיש ביכולתו של גוף לבצע כתוצאה משינוי ההעתק שלו.

לדוגמה, האנרגיה הפוטנציאלית של כוח רדיאלי שגודלו קטן באופן ריבועי, כלומר כוח מהצורה ${\vec {F}}=-{\kappa \over r^{2}}$ - היא $U=-{\kappa \over r}$ . כוח הכבידה והכוח החשמלי הם כוחות כאלה. במקרה כזה, מערכת הייחוס לרוב נבחרת כך שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת כאשר העתק הגוף הוא אינסוף.

שיווי משקל

בנקודת קיצון של האנרגיה הפוטנציאלית כתלות במקום, הכוח מתאפס והמערכת נמצאת בשיווי משקל מכני. סביב נקודות מינימום הכוח פועל בכיוון נקודת המינימום ולכן הוא נקרא כוח מחזיר, ונקודת המינימום מהווה שיווי משקל יציב. גם בנקודות מקסימום הכוח מתאפס, אולם סביב נקודות מקסימום הכוח פועל בכיוון המנוגד אליהן ולכן נקודות מקסימום מהוות שיווי משקל רופף.

האנרגיה הפוטנציאלית של מתנד הרמוני במימד אחד – מערכת הפועלת בהשפעת כוח מחזיר מהצורה $\ F=-kx$ - היא $U={1 \over 2}kx^{2}$ , כאשר x הוא ההעתק מנקודת שיווי המשקל של המערכת.

סוגי אנרגיה פוטנציאלית

אנרגיה כבידתית

אנרגיה כבידתית היא האנרגיה הפוטנציאלית שנובעת מכוח הכבידה:

U=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{R}}\

כאשר G הוא קבוע הכבידה ו- $m_{1},m_{2}$ המסות שביניהן פועל הכוח.

אנרגיה בשדה כבידה אחיד היא האנרגיה הפוטנציאלית של מסה m בשדה כבידה אחיד, כמו גוף הנע בהשפעת כוח הכובד בקירוב של גבהים קטנים ביחס לרדיוס כדור הארץ:

\,U=mgh

כאשר g תאוצת הכובד ו-h הגובה מעל נקודת ייחוס כלשהי (לדוגמה הגובה מעל פני האדמה). את נקודת הייחוס ניתן לבחור באופן שרירותי, שכן תוספת קבוע כלשהו אינה משנה את הפרש האנרגיות, שהוא הגודל הרלוונטי במרבית הבעיות. הכוח הנובע מהאנרגיה זו הוא F=mg והוא גורם להאצת הגוף כלפי מטה בתאוצת הנפילה החופשית תוך המרת האנרגיה הפוטנציאלית לאנרגיה קינטית. אנרגיה כבידתית יכולה לשמש בתור אנרגיה הידרואלקטרית לייצור חשמל בתחנת כוח הידרואלקטרית.

אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית משמשת לתיאור מערכת בקואורדינטות קוטביות כמו בעיה דו-גופית. גודל זה מכיל הן את האנרגיה הכבידתי ובנוסף לה רכיב של האנרגיה הקינטית התלוי בהעתק. אנרגיה פוטנציאלית אפקטיבית שימושית במיוחד בחישובי מסלולים ובעיות פיזור במכניקה אנליטית.

אנרגיה אלסטית

אנרגיה אלסטית היא אנרגיה פוטנציאלית שמקורה בכוחות חשמליים פנימיים שבין חלקיקי מוצק. האנרגיה האגורה בקפיץ אידיאלי, לפי חוק הוק, היא זו של הכוח F=-kx:

\Delta U=-\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}-k{\vec {x}}\cdot d{\vec {x}}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}kxdx={\frac {1}{2}}k\Delta x^{2}

(אם מותחים את הקפיץ מרפיון פשוט מציבים

x_{1}=0

).

תנועה בהשפעת אנרגיה פוטנציאלית כזו נקראת תנועה הרמונית פשוטה.

אנרגיה חשמלית

אנרגיה חשמלית היא אנרגיה פוטנציאלית שנובעת מכוחות הנגרמים על ידי מטענים חשמליים (ראו גם מתח חשמלי).

אנרגיה פוטנציאלית אלקטרוסטטית היא האנרגיה הפוטנציאלית של מטענים במנוחה, הנובעת מחוק קולון. האנרגיה הפוטנציאלית האלקטרוסטטית של זוג מטענים נקודתיים היא:

U=K{\frac {q_{1}q_{2}}{r}}

כאשר $\epsilon _{0}$ הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק ו-r המרחק בין המטענים. פוטנציאל חשמלי הוא האנרגיה האלקטרוסטטית של יחידת מטען במערכת. שדה חשמלי הוא כוח חשמלי ליחידת מטען, ולכן הקשר בין פוטנציאל חשמלי ושדה חשמלי דומה לקשר בין אנרגיה פוטנציאלית וכוח.

אנרגיה פוטנציאלית אלקטרודינמית (או אנרגיה אלקטרומגנטית) היא אנרגיה פוטנציאלית שנובעת מכוח לורנץ – הכוח שפועל על מטען חשמלי בהשפעת שדה חשמלי ושדה מגנטי. ניתן לייחס את האנרגיה האלקטרומגנטית ישירות לשדה האלקטרומגנטי:

U=\iiint \left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\epsilon _{r}\left|{\vec {E}}\right|^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}\mu _{r}}}\left|{\vec {B}}\right|^{2}\right)d^{3}r

כאשר $\epsilon _{0}\epsilon _{r}$ הוא המקדם הדיאלקטרי של התווך, ${\vec {E}}$ השדה החשמלי, $\mu _{0}\mu _{r}$ המקדם המגנטי של התווך, ${\vec {B}}$ השדה המגנטי והאינטגרל הוא על כל המרחב.

שטף האנרגיה האלקטרומגנטית מתואר על ידי וקטור פוינטינג, והוא שימושי במיוחד לתיאור קרינה אלקטרומגנטית. ניתן להמיר את אנרגיית האור לצורות אנרגיה אחרות: בבליעת אור היא מומרת לאנרגיית חום, בפוטוסינתזה לאנרגיה כימית, ובתא פוטו-וולטאי לאנרגיה פוטנציאלית אלקטרוסטטית.