גבול של סדרה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בחשבון אינפיניטסימלי, גבול של סדרה ממשית הוא מספר, שאיברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו כך שהמרחק בין האיברים לגבול קטן כרצוננו. מושג זה מהווה אבן פינה באנליזה המתמטית, בכך שהוא מאפשר לנסח ולחקור בכלים סופיים את ההתנהגות של סדרות, פונקציות ותהליכים אינסופיים אחרים. סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת. סדרה שאין לה גבול (אינה מתכנסת) נקראת סדרה מתבדרת.

באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה גם אם אבריה אינם דווקא מספרים ממשיים: ראו גבול בטופולוגיה.

סימון

את הטענה "הגבול של הסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ הוא $L$" ניתן לכתוב באופן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ או $a_{n}\to L$ (ולפעמים גם $a_{n}\xrightarrow {n\to \infty } L$). הצירוף lim הוא קיצור של המילה הלטינית limes שפירושה "גבול". בסימון $a_{n}$, האות $a$ מציינת את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-$n$ הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. הסמל $\infty$ מסמל את מושג האינסוף. החץ $\to$ מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש $n\to \infty$ מציין ש-$n$ שואף לאינסוף.

הגדרת הגבול

אינטואיטיבית, מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו. עם זאת הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית. כדי לתת הגדרה מדויקת יותר יש להשתמש במושגים של סביבה ומרחק, שיחולו על אברי הסדרה ממקום מסוים ואילך.

המשמעות של "קירבה לגבול"

ייצוג גרפי של סביבת הנקודה $a$ על ישר המספרים. המרחק של כל מספר בסביבה מהנקודה $a$ קטן מרדיוס הסביבה, המיוצג על ידי $\varepsilon$ ויכול להיות קטן כרצוננו.

על גבי הישר הממשי המרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של ההפרש שלהם

קבוצת המספרים שמרחקם מערך נתון $a$ אינו עולה על גודל קבוע (כלשהו), נקראת סביבה של $a$. בהקשר זה, מקובל להשתמש באות היוונית אפסילון ($\varepsilon$) כדי לייצג את רדיוס הסביבה. רדיוס הסביבה הוא מספר חיובי ($\varepsilon >0$), אשר יכול להיות קטן כרצוננו. סביבה זו כוללת את כל המספרים $x$ המקיימים את התנאי $|x-a|<\varepsilon$.

במסגרת מושגים אלו ניתן להגדיר את אברי הסדרה ה"קרובים" אל הגבול בצורה מדויקת יותר כנמצאים בסביבה של הגבול, כך שהמרחק של $a_{n}$ מ-$L$ יהיה קטן מ-$\varepsilon$; כלומר $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$.

משום ש-$\varepsilon$ יכול להיות קטן כרצוננו, על אברי הסדרה לענות על תנאי זה עבור כל $\varepsilon$. הסימון המתמטי של "לכל" הוא $\forall$. על כן, נכתוב את התנאי "לכל רדיוס סביבה חיובי אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול" בצורה הבאה: $\forall \varepsilon >0,\,|a_{n}-L|<\varepsilon$.

עם זאת, משום שהגדרנו את אברי הסדרה כ"הולכים ומתקרבים" לגבול ולא כ"קרובים" אליו, אין צורך שכל אברי הסדרה יהיו בסביבת הגבול כדי לענות להגדרה זו. כלומר, מספיק שכמעט כל האיברים יהיו בסביבת הגבול, החל ממקום מסוים שאותו נהוג לסמן באות $N$ גדולה או $N_{0}$. על כך יורחב בהמשך.

המשמעות של "התקרבות לגבול"

הגדרה מדויקת של מושג הגבול תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא מקום מסוים המסומן באות $N$ גדולה או $N_{0}$, שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי $N_{0}=N_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ (שיכול להיות גדול מאוד, ותלוי בבחירה של $\varepsilon$), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול (הסימן של "קיים" הוא $\exists$). כיוון ש-$n\to \infty$ עד $N_{0}$ יש רק מספר סופי של אינדקסים וממנו והלאה יש מספר אינסופי של אינדקסים. לכן אפשר לומר שעבור כל $\varepsilon$, כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ-$\varepsilon$ מהגבול - כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.

הגדרה: תהא $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי $=L$, או ש-$L$ הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ או בקיצור $a_{n}\to L$ אם לכל מספר ממשי $\varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $N_{0}$ כך שלכל $n$ המקיים $n>N_{0}$ מתקיים $\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$.

צורת כתיבה נוספת היא:

$L=\lim _{n\to \infty }a_{n}\iff \forall \varepsilon >0,\,\exists N_{0}>0,\,\forall n>N_{0},\,|a_{n}-L|<\varepsilon$

איתור המספר $N_{0}$ שממנו והלאה אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול

יש לשים לב שהאינדקס $N_{0}$ תלוי ב -$\varepsilon$. ככל ש $\varepsilon$ יהיה קטן יותר, $N_{0}$ המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר. לעיתים מסמנים $N_{\varepsilon }$ או $N_{0}(\varepsilon )$ במקום $N_{0}$ כדי להדגיש עובדה זו.

כמו כן, יש לזכור שהאינדקס $N_{0}$ הוא מספר טבעי ($N_{0}\in \mathbb {N}$). כלומר, על פי הגדרת הגבול עליו להיות מספר שלם חיובי. לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל מספר ממשי חיובי שאינו שלם. במקרה זה האינדקס $N_{0}$ יהיה הערך השלם העליון של המספר שהתקבל בחישוב. שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול. כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך: $\lceil N\rceil$.

אפיון התכנסות לפי קושי

תנאי קושי הוא אפיון שקול לכך שסדרה ממשית מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

הגדרה: תהא $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מקיימת את תנאי קושי אם לכל מספר ממשי $\varepsilon >0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $N_{0}$ כך שלכל $m,n$ המקיימים $m,n>N_{0}$ מתקיים $\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon$.

גבול במובן הרחב

אומרים שסדרה $a_{n}$ שואפת לאינסוף (או שאינסוף הוא גבול הסדרה), אם לכל מספר ממשי $M$ קיים מספר טבעי $N_{0}$ כך שלכל $n$ המקיים $n>N_{0}$ מתקיים $a_{n}>M$. ההגדרה של שאיפה למינוס אינסוף דומה.

כך למשל סדרה כמו $1,2,3,4,5,\ldots$ שואפת לאינסוף, כי ה"זנב" שלה גדול מכל מספר ממשי שנרצה, אולם הסדרה $1,2,1,3,1,4\ldots$ אינה שואפת לאינסוף, כי היא אמנם גדולה כרצוננו, אולם לא כל איברי ה"זנב" גדולים כרצוננו.

הגבול כאופרטור

בתוך המרחב הווקטורי של כל הסדרות הממשיות, שאותו מסמנים ב-$\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ או $\mathbb {R} ^{\omega }$, אוסף הסדרות המתכנסות מהווה אלגברה, שעליה מוגדר אופרטור הגבול: האופרטור מחזיר, עבור סדרה מתכנסת $a_{n}$, את גבולה $\lim _{n\to \infty }a_{n}$, שהוא מספר ממשי.

לפי אריתמטיקה של גבולות, בהינתן שתי סדרות מתכנסות $a_{n}$ ו-$b_{n}$ וקבוע $\alpha$ מתקיים

• $\ \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\ \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\ \lim _{n\to \infty }(\alpha \cdot b_{n})=\alpha \cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\ \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}$

כאשר בסעיף האחרון נדרש ש-$\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ וש-$b_{n}\neq 0$ לכל $n$.

מושגים קרובים

כאשר סדרה אינה מתכנסת, אין לה גבול במובן שהוגדר למעלה, ואז נדרשים כלים מעט אחרים. ההרחבה הטבעית הראשונה היא לסדרות שגבולן אינסוף או מינוס אינסוף, והן "מתכנסות במובן הרחב", כפי שהוסבר לעיל.

גבול של תת-סדרה נקרא גבול חלקי של הסדרה המקורית. כאשר סדרה מתכנסת כל הגבולות החלקיים שלה שווים. אוסף כל הגבולות החלקיים מתאר במובן ידוע את הסדרה המקורית; הגבול החלקי הקטן ביותר נקרא גבול תחתון, והגדול ביותר הוא גבול עליון.

ראו גם

• גבול (מתמטיקה)
• גבול של פונקציה
• גבול (טופולוגיה)
• מבחני התכנסות לסדרות