דיאגרמת וורונוי

20 נקודות ותאי וורונוי שלהן

במתמטיקה, דיאגרמת וורונוי (Voronoi diagram) היא חלוקה של המישור לאזורים המבוססת על מרחק לנקודות השייכות לחלק מסוים של המישור. קבוצת הנקודות הזו (הנקראות גם זרעים, אתרים או מחוללים) מוגדרת מראש, ולכל זרע יש אזור מתאים, המורכב מכל הנקודות הקרובות יותר לזרע זה מאשר לזרעים אחרים. אזורים אלה נקראים "תאי וורונוי". דיאגרמת וורונוי של קבוצת נקודות היא דואלית לשילוש דלוני של אותה קבוצת נקודות.

היא נקראת על שם גאורגי וורונוי ונקראת גם פסיפס וורונוי, פירוק וורונוי, חלוקת וורונוי או פסיפס דיריכלה (על שם יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה). לדיאגרמות וורונוי יש יישומים מעשיים ותאורטיים במספר נרחב של תחומים, בעיקר במדע (אלגוריתם לויד-מקס) ובטכנולוגיה, אבל גם באמנות חזותית.

המקרה הפשוט ביותר

במקרה הפשוט ביותר, המוצג בתמונה הראשונה, נתונה קבוצה סופית של נקודות $\{p_{1},...,p_{n}\}$ במישור אוקלידי. במקרה כזה, כל אתר $p_{k}$ הוא פשוט נקודה, ותא וורונוי המתאים לו $R_{k}$ מורכב מכל הנקודות במישור האוקלידי שמרחקן מ-$p_{k}$, קטן או שווה למרחקן מכל $p_{j}$ אחר. כל תא כזה מתקבל מהחיתוך של חצאי-מרחבים, ולכן הוא מצולע קמור. המקטעים של דיאגרמת וורונוי הם כל הנקודות במישור שהן שוות-מרחק לשני האתרים הקרובים ביותר אליהן. קודקודי וורונוי (צמתים) הם הנקודות שוות-המרחק לשלושה (או יותר) אתרים.

הגדרה פורמלית

יהי $X$ מרחב מטרי עם פונקציית מרחק $d$. יהי $K$ קבוצת אינדקסים ויהי $(P_{k})_{k\in {K}}$ n-יה סדורה (אוסף מסודר) של תתי-קבוצות לא ריקות (האתרים) של המרחב $X$. תא וורונוי, או אזור וורונוי, $R_{k}$, המשויך עם אתר $P_{k}$, הוא הקבוצה של כל הנקודות ב-$X$, שמרחקן מ-$P_{k}$ אינו גדול יותר ממרחקן לאתרים האחרים $P_{j}$, כש-$j$ הוא איזשהו אינדקס השונה מ-$k$.

במילים אחרות, אם $d(x,A)=\inf\{d(x,a)|a\in {A}\}$ מסמל את המרחק בין הנקודה $x$ לתת-הקבוצה $A$, אז

$R_{k}=\{x\in {X}|\ d(x,P_{k})\leq d(x,P_{j})\quad \forall j\neq k\}$

דיאגרמת וורונוי היא פשוט ה-n-יה סדורה של התאים $(R_{k})_{k\in {K}}$.

כעיקרון, חלק מהאתרים יכולים לחתוך או אפילו לחפוף זה את זה (ראו יישום שיתואר למטה עבור אתרים שמייצגים חנויות), אבל בדרך כלל מניחים שהם נפרדים זה מזה.

בנוסף, יכולים להיות אינסוף אתרים בהגדרה (לסידור כזה יש יישומים בגאומטריה של מספרים וקריסטלוגרפיה), אבל שוב, בהרבה מהמקרים רק מספר גדול סופי של אתרים מובא בחשבון.

במקרה הפרטי שבו המרחב הוא מרחב אוקלידי בעל מספר ממדים סופי, כל אתר הוא נקודה, ישנו מספר סופי של נקודות וכולן שונות זו מזו, אז תאי וורונוי הם גוף גאומטרי קמור והם יכולים להיות מיוצגים בצורה קומבינטורית על ידי הקודקודים, המקצועות, הפאות הדו-ממדיות שלהם וכו'. לפעמים מתייחסים למבנה הקומבינטורי שנוצר כדיאגרמת וורונוי. אולם, במקרה הכללי, תאי וורונוי יכולים להיות לא קמורים או אפילו לא מחוברים זה לזה.

במרחב האוקלידי הרגיל, אנו יכולים לשכתב את ההגדרה הרשמית במונחים רגילים. כל מצולע וורונוי $R_{k}$ משויך לנקודה מחוללת $P_{k}$. יהי $X$ קבוצת כל הנקודות במרחב האוקלידי. יהי $P_{1}$ הנקודה שמחוללת את אזור וורונוי $R_{1}$, $P_{2}$ הנקודה שמחוללת את $R_{2}$ ו-$P_{3}$ הנקודה שמחוללת את $R_{3}$ וכו'. לכן, כמו שביטאו טראן ושות' כל המקומות בתוך מצולע וורונוי, קרובים יותר אל הנקודה המחוללת של אותו מצולע, יותר מאל כל נקודה מחוללת אחרת בדיאגרמת וורונוי במישור האוקלידי.

הדגמה

דיאגמת וורונוי לפי המרחק האוקלידי

דיאגרמת וורונוי לפי מרחק מנהטן

כדוגמה פשוטה, ניקח את המקרה של קבוצת חנויות בעיר. נניח שאנחנו רוצים להעריך את מספר הצרכנים של חנות נתונה. כשכל הפרמטרים האחרים שווים בין החנויות (מחיר, מוצרים, איכות השרות וכו'), זה יהיה הגיוני להניח שהצרכנים יבחרו את החנות המועדפת עליהם פשוט לפי שיקולי מרחק: הם ילכו לחנות הממוקמת הכי קרוב אליהם. במקרה כזה תא וורונוי $R_{k}$ של חנות נתונה $P_{k}$ יכול לשמש בשביל להעריך בצורה גסה את מספר הצרכנים הפוטנציאלי שילכו לחנות הזו (שמיוצגת על ידי נקודה בעיר שלנו).

עבור רוב הערים, המרחק בין הנקודות יכול להימדד באמצעות המרחק האוקלידי המוכר:

$l_{2}=d\left[(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\right]={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}$

או מרחק מנהטן:

$d[(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})]=|a_{1}-b_{1}|+|a_{2}-b_{2}|$

דיאגרמות וורונוי המתאימות לכל מטריקת מרחק, שונות אחת מהשנייה.

יישומים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

ראו גם

• שילוש דלוני - מבנה דואלי לדיאגרמת וורוני

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא דיאגרמת וורונוי בוויקישיתוף

• דיאגרמת וורונוי, באתר MathWorld (באנגלית)