השערה (מתמטיקה)

במתמטיקה, השערה היא טענה שהועלתה על ידי מתמטיקאי שמאמינים כי היא נכונה בעקבות ראיות תומכות ראשוניות, אבל עבורן לא נמצאה עדיין הוכחה או הפרכה. ישנן השערות רבות שנותרו לא פתורות במשך עשרות ואף מאות שנים, כמו השערת רימן (שניתנה בשנת 1859) או המשפט האחרון של פרמה (שנוסחה ב-1637 והייתה השערה עד להוכחתה ב-1995 על ידי אנדרו ויילס). שתי ההשערות האלה, ועוד רבות אחרות, הן דוגמאות להשערות שעיצבו את ההיסטוריה של מתמטיקה בכך שתחומים מתמטיים חדשים פותחו במטרה להוכיח אותן.

לא כל השערה ניתנת להוכחה או הפרכה: דוגמה מפורסמת לכך היא השערת הרצף, הבעיה הראשונה ברשימת 23 הבעיות של הילברט. המתמטיקאים קורט גדל ופול כהן הוכיחו שלא ניתן להפריך או להוכיח את השערת הרצף (בהתאמה), מה שהופך אותה לבלתי תלויה באקסיומות של המתמטיקה. יתר מכך, משפט האי-שלמות הראשון של גדל טוען כי גם אם נרחיב את מערכת האקסיומות שלנו להכיל כמה השערות בלתי תלויות, תמיד תהיה השערה שאינה ניתנת להוכחה או להפרכה (ולמעשה אף ניתן לבנות אותה באמצעות אלגוריתם)

במהלך השנים שבהן ההשערה קיימת ללא הוכחה, היחס אליה מתבסס על אמונה, מושג שזר לעולמה של המתמטיקה, אך אינו זר לעולמם של המתמטיקאים, שגם הם עשויים בשר ודם. האמונה בנכונותה של השערה מסוימת, יחד עם חוסר האונים להוכיחה, גורמת למתמטיקאים לפתח תאוריות המתבססות על אמונה זו, תוך ידיעה ברורה שכל ההוכחות הנשענות על ההשערה עלולות להתברר כלא נכונות ברגע שבו תופרך ההשערה. מאידך, כל ההוכחות הנשענות על ההשערה יהפכו למתמטיקה מוצקה ברגע שתוכח ההשערה.

דוגמאות חשובות

המשפט האחרון של פרמה

ערך מורחב – המשפט האחרון של פרמה

בתורת המספרים, המשפט האחרון של פרמה (או השערת פרמה, בטקטסים ישנים) קובע כי לא קיימים שלמים חיוביים $a,b,c$ המקיימים $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ עבור $n>2$ כלשהו.

פייר דה פרמה ניסח את המשפט לראשונה ב-1637 בשולי עותק של הספר אריתמטיקה, בהם כתב "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אבל שוליים אלו צרים מלהכילה". ההוכחה המוצלחת הראשונה ניתנה ב-1994 על ידי אנדרו ויילס ופורסמה רשמית ב-1995, אחרי 358 שנים של מאמץ מתמטי. הבעיה הפתוחה הריצה את ההתפתחות של תורת המספרים האלגברית במאה ה-19, ואת ההוכחה של משפט המודולריות במאה ה-20.

ראו גם

• בעיות פתוחות במתמטיקה. בעיות שהיו בגדר השערות במשך מאות שנים אך כעת כבר יש להן הוכחה, וכן השערות שעדיין לא נמצאה להן הוכחה.

קישורים חיצוניים

• השערה, באתר MathWorld (באנגלית)