כפל

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

כֶּפֶל הוא פעולה בינארית בין מספרים, ובאופן כללי יותר פעולה בינארית על מבנים אלגבריים כלליים. כפל הוא אחד מארבע פעולות החשבון (יחד עם חיבור, חיסור, וחילוק). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי למבנים אלגבריים מרכזיים, כמו חבורות או חוגים. במבנים כאלו מוגדרות שתי פעולות בסיסיות: כפל וחיבור. מבחינה פורמלית, פעולת החילוק היא מכפלה בהופכי הכפלי ופעולת החיסור היא חיבור של ההופכי החיבורי.

3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.

כפל של מספרים טבעיים הוא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום $3+3+3+3=12\!\,$, ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. במערכת פאנו המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר באינדוקציה בעזרת פעולת החיבור: $\ a\cdot 0=0$, ו- $\ a\cdot (b+1)=a\cdot b+a$.

את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל למערכות מספרים גדולות יותר: במספרים הרציונליים הכפל של השברים $\ {\frac {a}{b}}$ ו- $\ {\frac {c}{d}}$ הוא השבר $\ {\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$. במספרים המרוכבים הכפל נובע מן הדיסטריבוטיביות ביחס לחיבור ומההנחה ש-$\ i\cdot i=-1$ כי: $\ (a+bi)\cdot (c+di)=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i$.

שטח המלבן מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך – בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר למשל גם נפח של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה).

המספרים שמוכפלים נקראים "גורמים" או "מספרים נכפלים". באלגברה, המספר המכפיל משתנה (למשל 3 ב-3xy²) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא החילוק: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.

במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו חבורה למחצה, מונואיד או חבורה, מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו חוג או שדה, מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.

סימון ומונחים

סימנו של הכפל

את הכפל מסמנים בסימן "×" או בסימן "·" בין הגורמים המוכפלים. לדוגמה, $2\times 3=6$ (במילים, "שתי פעמים 3 שווה ל-6", או "שתיים כפול שלוש שווה ל-6"). לפי כללי קדימות אופרטורים הכפל קודם לחיבור ולחיסור בסדר הפעולות: $\ a\times b+c=(a\times b)+c$. הכפל הוא אסוציאטיבי, ולכן אין צורך להנחות באמצעות סוגריים בביטוי שיש בו כמה פעולות כפל: $\,1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. באלגברה משמיטים לפעמים את סימן הכפל כליל, ורישום משתנים בסמיכות מייצג כפל שלהם (למשל XY שווה ל-X פעמים Y, ו-5X שווה לחמש פעמים X).

בשפות תכנות רבות מסומנת פעולת הכפל בכוכבית (כמו ב-2*5) מכיוון שהיא מופיעה בכל סוגי לוחות המקשים. החלה בכך שפת התכנות Fortran.

הסימון לכפל גורמים רבים

כפל סדרתי של איברים מסומן בסימן הַמַּכְפֵּלָה, שהוא האות Π (פאי) גדולה באלפבית היווני: $\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$. הציון התחתי (במקרה זה, האות i) מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי (m), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון (n). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים $\ x_{i}$ עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמה, $\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$. במקרה ש-m = n, התוצאה של המכפלה היא x_m. אם m > n, זוהי מכפלה ריקה, ומוסכם שערכה 1.

בעוד שמכפלות סופיות אפשר להגדיר באינדוקציה, המכפלה האינסופית (שבה הגבול העליון, למשל, הוא אינסוף), אינה מוגדרת בכל מקרה. כאשר מכפילים מספרים ממשיים, המכפלה האינסופית מוגדרת כגבול של סדרת המכפלות הסופיות, כאשר n שואף לאינסוף. כלומר, $\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$.

תכונות של פעולת הכפל

המחשה חזותית של חוק הפילוג בפעולת הכפל

לפעולת הכפל בין מספרים תכונות אלגבריות חשובות:

• כפל הוא פעולה אסוציאטיבית, אין חשיבות למיקום הסוגריים בכפל: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$.
• כפל הוא פעולה קומוטטיבית, אין חשיבות לסדר המוכפלים: $\,x\cdot y=y\cdot x$.
• יש איבר יחידה ביחס לכפל, המספר 1: $1\cdot x=x\cdot 1=x$.
• חל חוק הצמצום על מספרים ששונים מ-0: אם $x\cdot y=x\cdot z$ כאשר $x\neq 0$, אז $y=z$.
• ביחס ל-0 מתקיים: $\ x\cdot 0=0\cdot x=0$.
• מתקיים חוק הפילוג: $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.
• כפל ב--1 נותן את המספר הנגדי: $\,(-1)\cdot x=-x$.
• מכפלה של מספרים חיוביים היא מספר חיובי; הכפל במספר חיובי שומר על יחס הסדר (היחס >), בעוד שכפל במספר שלילי הופך את הסדר.
• לכל מספר שונה מ-0 יש מספר הופכי: לכל $x\neq 0$ קיים $y$ כך ש-$xy=1$. תכונה זו מתקיימת בכפל בשדה המספרים הרציונליים ובשדה המספרים הממשיים, אך אינה מתקיימת בכפל בקבוצת המספרים הטבעיים ובחוג המספרים השלמים.

הוכחה

נוכיח קודם כל את התכונות במספרים הטבעיים, באינדוקציה מתמטית. נעשה שימוש בהגדרה הרקורסיבית: ${\begin{aligned}x\cdot 0&=0\\x\cdot (y+1)&=xy+x\end{aligned}}$.

• אסוציאטיביות: עבור $z=0$ נקבל $x(y\cdot 0)=x\cdot 0=0=(xy)\cdot 0$. נניח עבור z. נקבל עבור z+1: $x(y(z+1))=x(yz+y)=x(yz)+xy=(xy)z+xy=(xy)(z+1)$. (עשינו שימוש בתכונת הפילוגיות, שתוכח בהמשך)
• קומוטטיביות: עבור $y=0$ נוכיח באינדוקציה על x ש-$0\cdot x=0$ ונקבל $x\cdot 0=0\cdot x$: עבור $x=0$ נקבל $0\cdot 0=0$. נניח עבור x. נקבל עבור x+1: $0\cdot (x+1)=0\cdot x+0=0+0=0$. כעת נניח שעבור y מתקיימת הקומוטטיביות. נקבל עבור y+1: $x(y+1)=xy+x=yx+x$. נוכיח באינדוקציה על x שמתקיים $1\cdot x=x$: עבור $x=0$ נקבל $1\cdot 0=0$. נניח עבור x. נקבל עבור x+1: $1\cdot (x+1)=1\cdot x+1\cdot 1=x+1$. כעת נחזור לביטוי הקודם ונקבל: $x(y+1)=yx+x=yx+1\cdot x=(y+1)x$ (שוב עשינו שימוש בפילוגיות).
• איבר יחידה: נובע מההגדרה ומהקומוטטיביות.
• את חוק הצמצום נוכיח במסגרת המספרים הרציונליים, ובפרט הוא יתקיים גם לטבעיים.
• חוק הפילוג: נוכיח את חוק הפילוג השמאלי. מכיוון שבהוכחת הקומוטטיביות השתמשנו רק בו, נוכל להשתמש בה כדי להוכיח את השמאלי.

עבור $z=0$ נקבל $x(y+0)=xy=xy+0=xy+x\cdot 0$. נניח עבור z. נקבל עבור z+1: $x(y+(z+1))=x((y+z)+1)=x(y+z)+x\cdot 1=xy+xz+x=xy+x(z+1)$.

• כפל ב-1: אינו מספר טבעי.
• אין איבר הופכי בטבעיים.

מערכות מספרים אחרות

• חוג המספרים השלמים: נשתמש בבנייה פורמלית של המספרים השלמים, כמחלקות שקילות של היחס $(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c$ על הקבוצה $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, כאשר הכפל מוגדר $[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]$, והחיבור מוגדר $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$:

• אסוציאטיביות: ${\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce+df,cf+de)]\\&=[(ace+adf+bcf+bde,acf+ade+bce+bdf)]\\&=[(ac+bd,ad+bc)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]\end{aligned}}$
• קומוטטיביות: $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]=[(ca+db,da+cb)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]$
• איבר יחידה: $[(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,0)]=[(a+0\cdot b,a\cdot 0+b)]=[(a,b)]$
• חוק הפילוג: ${\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(c+e,d+f)]=[(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)]\\&=[(ac+bd,ad+bc)]+[(ae+bf,af+be)]=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}$
• כפל ב-1: $[(a,b)]\cdot [(0,1)]=[(b,a)]=-[(a,b)]$
• אין הופכי בשלמים.

• שדה המספרים הרציונליים: נשתמש בבנייה פורמלית של המספרים הרציונליים, כמחלקות שקילות של היחס $(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc$ על הקבוצה $\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$, כאשר הכפל מוגדר $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]$ והחיבור מוגדר $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]$:

• אסוציאטיביות: ${\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]\\&=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]\end{aligned}}$
• קומוטטיביות: $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]$
• איבר יחידה: $[(a,b)]\cdot [(1,1)]=[(a,b)]$
• חוק הצמצום: נשתמש בכך שיש הופכי (יוכח בהמשך) ונקבל: $xy=xz\Rightarrow x^{-1}xy=x^{-1}xz\Rightarrow y=z$.
• חוק הפילוג: ${\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]\\&=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}$
• כפל ב-1: $[(a,b)]\cdot [(-1,1)]=[(-a,b)]=-[(a,b)]$
• מספר הופכי: $[(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1$

• שדה המספרים הממשיים: נשתמש בבנייה פורמלית של המספרים הממשיים כמחלקות שקילות של היחס $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists N,\forall n>N,|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon$ על סדרות קושי של מספרים רציונליים, כאשר הכפל מוגדר $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$ והחיבור מוגדר $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$:

• אסוציאטיביות:

${\begin{aligned}&[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot ([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\cdot z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot (y_{n}\cdot z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]\\&=[\{(x_{n}\cdot y_{n})\cdot z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}$

• קומוטטיביות: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\cdot x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• איבר יחידה: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot 1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• חוק הצמצום: באותה דרך כמו ברציונליים
• חוג הפילוג: ${\begin{aligned}&[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot ([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}(y_{n}+z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]\\&=[\{x_{n}y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}$
• כפל ב-1: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{-1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=-[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• מספר הופכי: נשתמש בכך שאם יש בסדרת קושי אינסוף אפסים, אז היא שקולה לסדרה $0=\{0\}_{n=1}^{\infty }$, ולכן לא צריך להיות לה הופכי. לכן נניח שקיים $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $x_{n}\not =0$. נגדיר סדרה $x'_{n}={\begin{cases}x_{n}&&n>N\\1&&n\leq N\end{cases}}$. ברור שהסדרה החדשה שקולה לסדרה המקורית, וכן שאין בה אפסים. נקבל: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot \left[\left\{{\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=[\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot \left[\left\{{\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=\left[\left\{{\frac {x'_{n}}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=[\{1\}_{n=1}^{\infty }]=1$

• שדה המספרים המרוכבים:

• אסוציאטיביות: ${\begin{aligned}(a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))&=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=\\&=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i\\&=((ac-bd)+(ad+bc)i)\cdot (e+fi)=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)\end{aligned}}$
• קומוטטיביות: $(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ca-db)+(cb+da)i=(c+di)\cdot (a+bi)$
• איבר יחידה: $(a+bi)\cdot 1=(a+bi)\cdot (1+0i)=(a\cdot 1-0\cdot b)+(a\cdot 0+b\cdot 1)i=a+bi$
• חוק הצמצום: באותה דרך
• חוג הפילוג: ${\begin{aligned}(a+bi)\cdot ((c+di)+(e+fi))&=(a+bi)\cdot ((c+e)+(d+f)i)=\\&=(ac+ae-bd-bf)+(ad+af+bc+be)i=\\&=((ac-bd)+(ad+bc)i)+((ae-bf)+(af+be)i)=\\&=(a+bi)\cdot (c+di)+(a+bi)\cdot (e+fi)\end{aligned}}$
• כפל ב-1: $(a+bi)\cdot (-1+0i)=(-a-b\cdot 0)+(-b+a\cdot 0)i=(-a)+(-b)i=-(a+bi)$
• מספר הופכי: $(a+bi)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)=\left({\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-ab+ba}{a^{2}+b^{2}}}i\right)=1+0i=1$

(הערה: בחלק מההוכחות השתמשנו לא רק בתכונות הכפל של המערכת הקודמת, אלא גם בתכונות של החיבור, עליהן ניתן לקרוא כאן)

לוח הכפל

ערך מורחב – לוח הכפל

The Educated Monkey
צעצוע מכני ממתכת משנת 1918 לחישובי לוח הכפל.
לדוגמה: אצבעות הרגליים מצביעות על 4 כפול 9, בידיים רואים תוצאה 36.

הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת.

לוח הכפל
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	$\!\,\times$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1
18	16	14	12	10	8	6	4	2	0	2
27	24	21	18	15	12	9	6	3	0	3
36	32	28	24	20	16	12	8	4	0	4
45	40	35	30	25	20	15	10	5	0	5
54	48	42	36	30	24	18	12	6	0	6
63	56	49	42	35	28	21	14	7	0	7
72	64	56	48	40	32	24	16	8	0	8
81	72	63	54	45	36	27	18	9	0	9

הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1–10, ולא בתחום 0–9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.

כופל ונכפל

כפל בין מספרים הוא פעולה קומוטטיבית, כלומר אין חשיבות לסדר המוכפלים: $\,x\cdot y=y\cdot x$. עם זאת, משיקולים דידקטיים בתחילת הוראתה של פעולת הכפל מבדילים בין שני הגורמים: הראשון בסדר הכתיבה אשר אותו מכפילים – נקרא "נכפל", והשני – בו מכפילים – נקרא "כופל". שניהם יחדו נקראים "גורמים". עבור שאלות מילוליות – הנכפל נושא תמיד את השם הנתון בשאלה (כדורים / בובות וכו'). הכופל מראה פי כמה להגדיל את הנכפל, ולכן מייחסים לו את השם "פעמים". את הביטוי 3X5 יש לקרוא "שלוש כפול חמש" או "שלוש פעמים חמש". דוגמאות:

• אמרתי ארבע פעמים "כולם מקישים בלשון", כמה מילים אמרתי. תשובה: $\ 3\times 4$. מספר המילים הוא הנכפל, ומספר הפעמים הוא הכופל.
• יש לי שלושה ילדים, ונתתי לכל אחד מהם דמי חנוכה בסך עשרה שקלים. כמה דמי חנוכה נתתי? תשובה: $\ 3\times 10=30$. מספר הילדים הוא הנכפל, וגובה דמי חנוכה הוא הכופל.
• החלטתי לתת דמי חנוכה בסך עשרה שקלים לכל ילד. כמה דמי חנוכה אתן כאשר יש לי שלושה ילדים? $\ 10\times 3=30$. גובה דמי חנוכה הוא הנכפל, ומספר הילדים הוא הכופל.

משתי הדוגמאות האחרונות ניתן לראות שקביעת הכופל והנכפל תלויה בניסוח של השאלה, אך אינה משפיעה על התוצאה, שהרי פעולת הכפל היא קומוטטיבית.

ראו גם

• עקרון הכפל
• מכפלה וקטורית
• מכפלה סקלרית
• כפל מטריצות
• מכפלה טנזורית
• מכפלה קרטזית
• מבחן בדיקה של מכפלות בעזרת סכום ספרות סופי
• עצמות נפייר

קישורים חיצוניים

משחק לימודי מאתגר בלוח הכפל

• Re: Visual Multiplication and 48/2(9+3) – וי הארט מסבירה על שיטות לפתירת תרגילי כפל: מאונך מול חזותי
• כפל, באתר MathWorld (באנגלית)