מרכז (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מרכז החבורה $G$ היא קבוצת כל האיברים שמתחלפים עם כל איברי $G$ :

{\text{Z}}(G)=\{z\in G:gz=zg\,,\forall g\in G\}

המרכז הוא תמיד תת-חבורה נורמלית ואבלית של $G$ . סימונו מגיע מהמילה הגרמנית Zentrum שמשמעותה "מרכז".

אם $G$ היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם ${\text{Z}}(G)=\{e\}$ (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק).

נתבונן בהומומורפיזם $\varphi$ מהחבורה $G$ לחבורת האוטומורפיזמים שלה $\varphi :G\to {\text{Aut}}(G)$ המוגדר לפי $(\varphi (g))(h)=ghg^{-1}$ (כלומר $\varphi (g)$ הומומורפיזם הצמדה ב- $g$ ). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי $G$ שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של $G$ , והתמונה $\varphi (G)$ היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של $G$ , ומסומנת $\operatorname {Inn} (G)$ . לפי משפט האיזומורפיזם הראשון $G/{\text{Z}}(G)\cong {\text{Inn}}(G)$ . לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ- $G^{\text{ad}}=G/{\text{Z}}(G)$ .