משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית

משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית היא משוואה דיפרנציאלית שבה לפחות אחד מהמשתנים הוא תהליך סטוכסטי. משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית משמשת במודלים בפיזיקה סטטיסטית ובמתמטיקה פיננסית בהם ישנו שינוי שמתנהג בצורה סטטיסטית. בדרך כלל השינוי מתנהג כמו נגזרת של התנועה הבראונית אולם, ייתכן כי התהליך הסטוכסטי מתנהג בצורה שונה.

רקע

העבודות הראשונות על משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות החלו בתיאור התנועה הבראונית על ידי לואי בשלייה ב-1900 עבודתו Théorie de la Spéculation (התאוריה של הספקולציה) ועל ידי אלברט איינשטיין במאמרו בשנת הפלאות על התנועה הנדרשת מהתורה הקינטית המולקולארית של החום ושל חלקיקים קטנים השוהים על פניו של נוזל במנוחה בו תיאר את תנועת הגזים וחלקיקי אבק בתוך נוזל.

את עבודתו של בשלייה המשיך הפיזיקאי פול לנז'בן. בהמשך קיושי איטו ורוסלן סטרטונוביץ' הציבו בסיס מתמטי מוצק יותר למשוואות אלו.

תיאור משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית

משוואה דיפרנציאלית כללית מסדר ראשון מתוארת בדרך כלל בצורה:

$\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},$

כאשר $B$ מתאר תנועה בראונית סטנדרטית. על מנת לפתור את המשוואה ניתן לבצע אינטגרציה בשני האגפים כך שפתרון ל$X_{t}$ יהיה סכום של שני אינטגרלים. הראשון $\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u$ הוא אינטגרל של משתנה רגיל שניתן לחשבו על ידי אינטגרל לבג והביטוי השני $\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}$ הוא אינטגרל לפי משתנה סטוכסטי אותו לא ניתן לחשב כאינטגרל רגיל אלא כאינטגרל סטוכסטי, בדרך כלל משתמשים באינטגרל איטו לצורך זה.

מקרה פרטי של המשוואה הזו שמשמשת במידול של מכשירים פיננסית ושווקים בשוק ההון היא תנועה בראונית גאומטרית שמקיימת את המשוואה $dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dB_{t}$.