מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
איור 1: השוואה של מספר פונקציות סיגמואיד. באיור כל הפונקציות מנורמלות בצורה כזו שהראשית שלהן ב-(0,0) והטווח שלהם הוא הקטע [1+,1-].איור 2: עקומה לוגיסטית איור 3: פונקציית השגיאה פונקציית סיגמואיד היא פונקציה מתמטית, בעלת עקומה בצורת האות "S" הנקראת גם עקומת סיגמואיד .
לעיתים קרובות "פונקציית סיגמואיד" מתייחסת למקרה פרטי של הפונקציה הלוגיסטית , כפי שניתן לראות באיור 2, ומתוארת על ידי הנוסחה הבאה:
S
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
=
e
x
e
x
+
1
{\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}}
פונקציות סיגמואיד מוגדרות על המספרים הממשיים , והן עולות מונוטונית .
פונקציית סיגמואיד היא פונקציה ממשית
S
:
R
→
[
a
,
b
]
⊊
R
{\displaystyle S:\mathbb {R} \to [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }
דיפרנציאבילית חסומה המוגדרת על כל המספרים הממשיים ובעלת נגזרת אי-שלילית בכל נקודה.
f
(
x
)
=
1
1
+
e
−
x
=
e
x
e
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}}
f
(
x
)
=
tanh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
{\displaystyle f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
f
(
x
)
=
arctan
x
{\displaystyle f(x)=\arctan x}
f
(
x
)
=
gd
(
x
)
=
∫
0
x
1
cosh
t
d
t
{\displaystyle f(x)=\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\cosh t}}\,dt}
f
(
x
)
=
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}
f
(
x
)
=
(
1
+
e
−
x
)
−
α
,
α
>
0
{\displaystyle f(x)=(1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0}
f
(
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
פונקציות סיגמואיד, ובפרט הפונקציה הלוגיסטית , משמשת ברשתות עצביות מלאכותיות .
.svg)
![{\displaystyle S:\mathbb {R} \to [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1095d9ea83dc4b4ab26a923273fec2b954ad20d0)
