קבוצה מקטגוריה ראשונה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, קבוצה מקטגוריה ראשונה (נקראת גם קבוצה דלה, באנגלית: meagre set) היא קבוצה אשר נוצרת מאיחוד בן-מניה של קבוצות דלילות. קבוצה אשר איננה קבוצה מקטגוריה ראשונה נקראת קבוצה מקטגוריה שניה.

לקבוצות מקטגוריה ראשונה חשיבות רבה בניסוח משפט הקטגוריה של בייר, משפט מרכזי בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.

הגדרות מתמטיות

בהינתן מרחב טופלוגי $X$ עם טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ וקבוצה $N\subseteq X$, הקבוצה $N$ תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם היא מקיימת את אחד מהתנאים השקולים הבאים:

1. הפנים של הסגור שלה ריק, כלומר $\operatorname {Int} (\operatorname {Cl} (N))=\emptyset$
2. לכל קבוצה פתוחה $\emptyset \neq U\in {\mathcal {T}}$ קיימת קבוצה פתוחה $\emptyset \neq V\in {\mathcal {T}}$ כך ש-$V\subseteq U$ ו-$V\cap N=\emptyset$

קבוצה $A\subseteq X$ תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא ניתנת לכתיבה כ-$A=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N_{i}}$ כאשר $N_{i}$ כולן קבוצות דלילות. מאידך, $A$ תקרא קבוצה מקטגוריה שניה אם ורק אם היא אינה מקטגוריה ראשונה.

הערות בנוגע לניסוח:

1. באנגלית נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה גם כ-Meager Set שפרושו המילולי הוא קבוצה דלה או קבוצה דלילה, אולם בעברית המונח קבוצה דלילה נוגע לקבוצות שהן Nowhere Dense.
2. אין קשר בין קבוצות מקטגוריה ראשונה (או שנייה) לתורת הקטגוריות.

מרחבי בייר ומשפט הקטגוריה של בייר

מרחב בייר הוא מרחב טופולוגי שעבורו המשלים לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה. משפט הקטגוריה של בייר מוכיח כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בייר. ממשפט זה נובע כי $\mathbb {R}$ הוא מרחב בייר.

הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק בנך-מזור

ניתן להגדיר את המונח קבוצה מקטגוריה ראשונה באמצעות המשחק הטופולוגי משחק בנך-מזור. עבור מרחב טופולוגי $X$ וקבוצה $A\subseteq X$, משחק בנך-מזור משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב. בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה $U_{1}\subseteq X$ ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה $U_{2}\subseteq U_{1}$. לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת $U_{3}\subseteq U_{2}$ ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה $U_{4}\subseteq U_{3}$. המשחק נמשך עד לאינסוף. אליס מנצחת את המשחק אם $A\cap \bigcap _{n=1}^{\infty }{U_{n}}\neq \emptyset$. אחרת, בוב מנצח.

ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם $A$ היא קבוצה מקטגוריה ראשונה. בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי קבוצה מקטגוריה ראשונה להיות קבוצה שעבורה יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק בנך-מזור.

דוגמאות

• כל קבוצה דלילה היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
• קבוצת המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ היא קבוצה מקטגוריה ראשונה תחת $\mathbb {R}$ עם הטופולוגיה הסטנדרטית, אך היא אינה קבוצה דלילה (למעשה, היא קבוצה צפופה)
• הקבוצה הריקה $\emptyset$ היא מהקטגוריה הראשונה בכל מרחב טופולוגי.
• אם $A\subseteq X$ היא קבוצה מקטגוריה ראשונה, אז כל $B\subseteq A$ גם היא מקטגוריה ראשונה.
• אם $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subseteq X$ הן קבוצת נקודות מקטגוריה ראשונה אז $\bigcup _{n=1}^{\infty }{A_{n}}$ מקטגוריה ראשונה.

קישורים חיצוניים

• קבוצה מקטגוריה ראשונה, באתר MathWorld (באנגלית)