Középpontos sokszögszámok

A középpontos sokszögszámok a figurális számok egy fajtája. Olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy pont van, és azt sokszög alakú pontrétegek veszik körül. Adott réteg minden oldala eggyel több pontot tartalmaz, mint a korábbi réteg, így a második sokszögrétegtől kezdve egy középpontos k-szögszám minden rétege k-val több pontot tartalmaz a korábbinál.

Példák

Mindegyik sorozat előáll a háromszögszám valahányszorosához 1-et hozzáadva. Például a középpontos négyzetszámok a háromszögszám négyszerese plusz 1 képlettel állnak elő.

A sorozatok:

• középpontos háromszögszámok 1,4,10,19,31,... (A005448 sorozat az OEIS-ben)
• középpontos négyzetszámok 1,5,13,25,41,... ( A001844)
• középpontos ötszögszámok 1,6,16,31,51,... ( A005891)
• középpontos hatszögszámok 1,7,19,37,61,... ( A003215)
• középpontos hétszögszámok 1,8,22,43,71,... ( A069099)
• középpontos nyolcszögszámok 1,9,25,49,81,... ( A016754)
• középpontos kilencszögszámok 1,10,28,55,91,... ( A060544
• középpontos tízszögszámok 1,11,31,61,101,... ( A062786)

s.í.t.

A következő ábrák középpontos sokszögszámok vannak, megrajzolásuk folyamatát is bemutatva. Érdemes összehasonlítani a sokszögszámok cikkben található ábrákkal.

Középpontos négyzetszámok

1		5		13		25

Középpontos hatszögszámok

1		7		19		37

Képlet

Ahogy a fenti ábrákból látható, az n-edik középpontos k-szögszám megkapható, ha az (n−1)-edik háromszögszámból k másolatot helyezünk el egy középpont körül; ezért az n-edik középpontos k-szögszám kifejezhető így:

$C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.$

Ahogy a sima sokszögszámoknál is, az első k-szögszám mindig 1. Tehát bármilyen k számra 1 egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám. A következő olyan szám, ami egyaránt k-szögszám és középpontos k-szögszám a következő képlettel számolható:

${\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1$

ami szerint a 10 háromszögszám és középpontos háromszögszám, a 25 négyzetszám és középpontos négyzetszám stb.

Amíg a p prímszámok nem lehetnek sokszögszámok (eltekintve a triviális ténytől, hogy minden p a második p-szögszám), a középpontos sokszögszámok között sok prímszám található.

Jegyzetek

• Neil Sloane & Simon Plouffe. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press (1995) : Fig. M3826
• Weisstein, Eric W.: Centered polygonal number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• F. Tapson. The Oxford Mathematics Study Dictionary, 2nd, Oxford University Press, 88–89. o. (1999). ISBN 0-19-914-567-9 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Centered polygonal number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.