Térszög

Térszög

A térszög (jele: Ω) olyan szög a háromdimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: $\Omega ={k}\ {S/}{r^{2}}$ (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: $\Omega ={S/}{r^{2}}={(4\pi r^{2})/}{r^{2}}=4\pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}57\ \mathrm {sr}$.

A térszög mérhető még négyzetfokban (${k=(180/}\pi {)}^{2}$) vagy gömbrészben (${k=1/4}\pi$).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

1. $\Omega _{sr}={4}\pi \ \Omega _{gr}$ - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket ${4}\pi$-vel.
2. $\Omega _{nf}={4}\pi \ {(180/}\pi {)}^{2}\ \Omega _{gr}={129600}\ \pi \ \Omega _{gr}$ - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket ${4}\pi {(180/}\pi {)}^{2}$, vagyis ${129600}\pi$-vel.

Definíció

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

$\Omega :={\frac {S}{r^{2}}}=\int \!\!\!\!\int _{A}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot d{\vec {A}}}{\rho ^{2}}}$

ahol ${\hat {\vec {n}}}$ a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, $d{\vec {A}}$ infinitezimálisan kicsiny felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

Alkalmazások

• A fényerősség és a fénysűrűség (luminancia)
• A gömbháromszögek gömbi feleslege
• Fémkomplexekben a ligandumok méretének meghatározása
• Elektromos és mágneses térerősség
• Gauss-törvény

Más dimenziókban

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

$\Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}$

ahol $\Gamma$ a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

$\Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {d\pi ^{d/2}}{\left({\frac {d}{2}}\right)!}}&d={\dot {2}}\\{\frac {2^{d}\left({\frac {d-1}{2}}\right)!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}&d\neq {\dot {2}}\end{cases}}$

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a $[-1,1]$ intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögei

Tetraéder

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje ${\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}$ rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A $\vartheta _{a}\,$ szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a $\vartheta _{b},\,\vartheta _{c}$ szögeket. Jelölje $\varphi _{ab}\,$ az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a $\varphi _{bc},\,\varphi _{ac}$ szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

$\Omega =\varphi _{ab}+\varphi _{bc}+\varphi _{ac}-\pi .\,$

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

$\sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi$

ahol $\phi _{i}\,$ végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.: A fenti jelölésekkel

$\mathrm {tg} \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}{abc+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})c+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})b+({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})a}},$

ahol

$[{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]$

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a $\vartheta _{a},\,\vartheta _{b},\,\vartheta _{c}$ szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

$\mathrm {tg} \left({\tfrac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{a}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{b}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{c}}{2}}\right)}}$

ahol

$\vartheta _{s}={\frac {\vartheta _{a}+\vartheta _{b}+\vartheta _{c}}{2}}$

Kúp, gömbsüveg, félgömb

Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A $2\theta \,\!$ csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

$\Omega =2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\!$

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\ =2\pi \left(1-\cos \theta \right).$

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

$2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).\,\$

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

$\Omega =4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\$

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

$4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos {\theta }\right).\,\!$

A Föld felszínén a $\theta \,\!$ szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

${\frac {1}{2}}\left(1+\cos {\theta }\right).\,\$.

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

Piramid

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

$\Omega =4\arcsin \left(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2}\right).\,\!$

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramid magassága d, akkor a csúcsszög:

$\Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}.\,\!$

Szélességi-hosszúsági téglalap

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

$\left(\sin \varphi _{N}-\sin \varphi _{S}\right)\left(\vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!\right)$, ahol $\varphi _{N}\,\!$ és $\varphi _{S}\,\!$ a határoló északi és déli szélességi kör, és $\vartheta _{E}\,\!$ és $\vartheta _{W}\,\!$ a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy $\varphi _{N}-\varphi _{S}\,\!$ hosszú körívet jelent, ami $\vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!$ radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6·10⁻⁵ szteradiánt.

Források

• Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
• F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
• Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.