Պարամետր (մաթեմատիկա)

Ենթակատեգորիա	Փոփոխական մեծություն, Հաստատուն, հատկություն
Կիրառությունը	characterization, description, parametrization
Թեմայով վերաբերում է	system configuration

Պարամետր (հին հունարեն՝ παραμετρέω — «չափում», որտեղ παρά: «մոտ», «երկրորդական», «օժանդակ», «ենթակա» և μέτρον: «չափում»), մեծություն, որի արժեքները ծառայում են որոշակի բազմության տարրերը միմյանցից տարբերելու համար^{[B: 1]}^[1], մեծություն, որը հաստատուն է տվյալ երևույթի կամ խնդրի համար, բայց կարող է փոխել իր արժեքը այլ երևույթի կամ արժեքի անցնելու դեպքում^{[B: 2]}։

Երբեմն պարամետրեր են կոչվում նաև այն մեծությունները, որոնք շատ դանդաղ են փոփոխվում՝ համեմատած այլ մեծությունների (փոփոխականների)։

Պարամետրը օբյեկտի կամ համակարգի հատկություն կամ ցուցիչ է, որը կարելի է չափել։ Համակարգի պարամետրի չափման արդյունքը պարամետրի թիվն է կամ արժեքը, և ինքնին համակարգը կարող է դիտարկվել որպես պարամետրերի մի շարք, որոնք հետազոտողը պետք է ճիշտ չափի, որպեսզի իր վարքագիծը ճիշտ մոդելավորի^{[B: 3]}^{[B: 4]}։

Տերմինի օգտագործման առանձնահատկություններ

«Պարամետր» տերմինն օգտագործվում է գիտելիքի բազմաթիվ ոլորտներում՝ մաթեմատիկա, վիճակագրություն, ֆիզիկա, տրամաբանություն, ճարտարագիտություն և այլն, որտեղ այն ունի իր առանձին նշանակությունը^[2]^[3]։

Մաթեմատիկա

Մաթեմատիկայի մեջ «պարամետր» տերմինն օգտագործվում է երկու իմաստով՝

Մեծություն, որը հաստատուն է տվյալ խնդրի կամ տվյալ կորի համար, բայց համընդհանուր հաստատուն չէ։ Օրինակ՝ $y=pe^{x}$ ֆունկցիայում $x,y$ -ը փոփոխականներն են, $e$ -ն՝ համընդհանուր հաստատունը, $p$ -ն՝ պարամետր։
Օժանդակ փոփոխական, որը չի մտնում խնդրի պայմանի մեջ, բայց հարմար է լուծման կամ պատկերավորության համար։ Օրինակ՝ հարթ անշարժ շրջանագծի $x^{2}+y^{2}=25$ հավասարումը կարելի է փոխարինել $x=5\cos(t),y=5\sin(t)$ , որտեղ $t$ -ն պարամետր է այսինքն՝ օժանդակ փոփոխական։

Թերմոդինամիկա

Թերմոդինամիկայի մեջ օգտագործվում են վիճակագրական մոդելներ, որոնք անհրաժեշտ են տատանումների, աղմուկի և այլնի ազդեցության տեսական ուսումնասիրության համար տատանումների համակարգերի գործընթացների վրա, երբ պատահական գործընթացները հաշվի են առնվում, համակարգի շարժումը ենթարկվելու է վիճակագրության օրենքներին։ Այս դեպքում բաշխումների և փորձարկման վարկածների բնութագրերն ու պարամետրերը գնահատելու համար օգտագործվում է դիտարկման արդյունքների ֆունկցիան։

Դինամիկ համակարգերի տեսություն

Իրական համակարգերի դինամիկ մոդելներում անտեսված են տատանումները և վիճակագրական մյուս բոլոր երևույթները։ Եթե մենք խոսում ենք իրական ֆիզիկական համակարգերի իդեալականացման մասին դինամիկ մոդելների տեսքով, ապա համակարգի վիճակը որոշող մեծությունների միջև կախվածությունը կարող է արտահայտվել որոշակի դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքով, որոնք ներառում են որոշակի թվով հաստատուն պարամետրեր, որոնք բնութագրում են՝ համակարգը, այսինքն՝ արտացոլելով դրա հատկությունները հաստատուն պարամետրերը կամ դրանց համակցությունները ներառված են նման հավասարումների մեջ՝ գործակիցների տեսքով^[4]։

Դինամիկ համակարգեր ուսումնասիրելիս երբեմն հայտնաբերվում է «մակաբույծ» պարամետրերի խումբ, այսինքն՝ նրանք, որոնց փոփոխությունները հետազոտողին հետաքրքրող արժեքային միջակայքում էական ազդեցություն չեն ունենում համակարգի վարքագծի վրա^[5]։

Դինամիկ բիֆուրկացիաների տեսության մեջ^{[A: 1]} պարամետրը համարվում է ժամանակից կախված, փոփոխական պարամետր; Ավելին, սովորաբար համակարգի հատկությունների ուսումնասիրության համար հետաքրքրություն է ներկայացնում բիֆուրկացիայի պարամետրը, այսինքն՝ մեկը, որը փոխելիս համակարգում տեղի է ունենում այս կամ այն բիֆուրկացիա^[6]։ Դինամիկ բիֆուրկացիաների ուսումնասիրությունները սովորաբար կատարվում են արագ դանդաղ համակարգերում, այսինքն՝ պարունակում են այսպես կոչված փոքր պարամետր, որի օգնությամբ համակարգը բաժանվում է «արագ» և «դանդաղ» մասերի։

Օրինակներ

Անալիտիկ երկրաչափություն

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատներում (x-a)²+(y-b)²=1 հավասարումով որոշվում է xOy հարթության վրա շառավղով 1 բոլոր շրջանագծերի բազմությունը; օրինակ, ընդունելով a=3, b=4, այս բազմությունից առանձնացվում է լիովին որոշակի շրջանագիծ՝ (3,4) կենտրոնով, և, հետևաբար, a-ն և b-ն հանդիսանում են շրջանագծի պարամետրեր դիտարկվող բազմության մեջ^[1]։

Իդեալական գազի հավասարում

Իդեալական գազի հավասարման մեջ՝

PV=nRT\,

Այստեղ R-ը համընդհանուր գազային հաստատունն է, որը հաստատուն է ոչ միայն կոնկրետ համակարգում, այլ ցանկացած գազի համար, ուստի այն համակարգի պարամետր չէ։

● P, V, n, T մեծությունները, կախված պրոցեսից, կարող են լինել կա՛մ փոփոխականներ, կա՛մ տվյալ գազային համակարգի պարամետրեր։

Օրինակ, իզոխոր պրոցեսի դեպքում (երբ անփոփոխ են ծավալը V-ն և նյութի քանակը n-ը)

● ճնշումը P-ն և ջերմաստիճանը T-ն փոփոխականներ են

● ծավալը V-ն և նյութի քանակը n-ը պարամետրեր են

● R-ը հաստատուն է

Ծրագրավորում

Պարամետրը ծրագրավորման մեջ ֆունկցիայի կողմից ընդունված արգումենտն է։ «Արգումենտ» տերմինը ենթադրում է, թե կոնկրետ ինչ և որ կոնկրետ ֆունկցիային է փոխանցվել, իսկ պարամետրը՝ թե ինչ որակով է ֆունկցիան կիրառել այդ ընդունվածը։

Արբանյակների և մոլորակների ուղեծրեր

Արբանյակների և մոլորակների ուղեծրային շարժման ուսումնասիրության ժամանակ օգտագործվում են տարբեր մեծություններ.

● արբանյակի կոորդինատները և ժամանակը փոփոխականներ են, ոչ թե պարամետրեր;

● գրավիտացիոն հաստատունը համընդհանուր հաստատուն է, ոչ թե պարամետր;

● մեծ կիսառանցքի երկարությունը, էքսցենտրիսիտետը և այլ մեծություններ պարամետրեր են, քանի որ տարբեր ուղեծրերի համար դրանք կարող են տարբեր լինել, սակայն մեկ ուղեծրի սահմաններում դրանք անփոփոխ են (կամ գրեթե անփոփոխ)։

Բնակչության աճ

Պոպուլյացիայի աճը մոդելավորող դիֆերենցիալ հավասարման մեջ

{\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K}}\right)

որտեղ է փոփոխականը (ոչ պարամետր) 𝑃 ներկայացնում է բնակչության թվաքանակը,

պարամետր 𝐾 օգտագործվում է որպես արժեք, որը որոշում է անհատների առավելագույն թիվը, որոնց արտաքին միջավայրը կարող է աջակցել

պարամետր 𝑟 սահմանվում է որպես բնակչության աճի տեմպ 𝑃:

Ահա արժեքը 𝑃 ընդունված է այն անվանել փոփոխական, այլ ոչ թե պարամետր, քանի որ ամեն ժամանակային քայլին փորձում են հաշվարկել 𝑡, այն է 𝑃 հաշվարկի ընթացքում անընդհատ փոխվում է 𝐾 և 𝑟։

Արտաքին միջավայրի (պարամետրերը) և բնակչության աճի պարամետրը հաստատուն են բնակչության աճի ողջ ժամանակահատվածի համար և չափվում են մոդելի դիզայների կողմից նույնիսկ մինչև հավասարումը կազմելը։

Նորմալ բաշխման վիճակագրական մոդել

Վիճակագրության մեջ «պարամետր» բառը (երբեմն օգտագործվում է «ցուցանիշ» տերմինը) վերաբերում է ամբողջության վիճակագրական հատկություններին (միջին, մոդա, մեդիանա, դիսպերսիա և այլն)։ Օրինակ, Ռուսաստանի բնակչության ընդհանուր ամբողջության մեջ մարդկանց հասակի x մեծության նորմալ բաշխման մոդելը կարող է տրվել հետևյալ բաշխմամբ։

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

Այս ֆորմուլում՝

x - փոփոխական մարդու հասակը։
μ - պարամետր մաթեմատիկական ակնկալիք (միջին արժեք), մեդիան և բաշխման եղանակ։
σ- պարամետր բաշխման ստանդարտ շեղում։
𝑒,𝜋 - մաթեմատիկական հաստատուններ։

Տես նաև

Դինամիկ համակարգ
Պարամետրային ներկայացում
Թերմոդինամիկա

Ծանոթագրություններ

↑ ^1,0 ^1,1 МЭС, 1995, էջ 451
↑ Внутри каждой из этих областей нужно быть аккуратным в интерпретации данного термина. Так слово параметр иногда используется как синоним аргумента функции, свойства системы, аксиомы, переменной, функции, атрибута и т. д.
Самая частая ошибка в использовании слова параметр заключается в отождествлении его с термином «переменная». Параметр — это величина, которая измеряется для вычисления переменной. Переменная — это величина, которая вычисляется путём выполнения различных операций (в том числе с участием ранее заданных или измеренных параметров) и, таким образом, является признаком объекта или системы.
Например, пусть у нас есть уравнение $y=kx+b$ , которое задаёт множество прямых на плоскости. Прежде чем мы сможем вычислить значение переменной $x$ в точке $y=0$ , мы должны задать значения параметров $k$ и $b$ (угол наклона и высота прямой), что эквивалентно измерению параметра $k$ с помощью транспортира и измерению параметра $b$ с помощью линейки.
Допустим после наших измерений, $k=2$ и $b=7$ , тем самым мы получим конкретную прямую $y=2x+7$ из множества всех прямых $y=kx+b$ .
Теперь вычислить значение переменной $x$ в точке $y=0$ можно решив уравнение $0=2x+7$ .
↑ Дополнительным источником ошибок в понимании и употреблении слова «параметр» является и используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
↑ Андронов, 1981, Введение, էջ 15-34
↑ Андронов, 1981, Глава I. линейные системы, էջ 35-102
↑ Такой меняющий свою величину во времени параметр всё же не следует путать с переменными состояния: изменения переменных состояния системы к бифуркациям не приводят.

Գրականություն

Գրքեր

↑ Математический энциклопедический словарь / Ю. В. Прохоров. — М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1995. — 847 с.
↑ Д. Н. Ушаков Толковый словарь русского языка. — в 3 т., на основе 4-томного издания 1948 г.. — М.: «Вече», «Си ЭТС», 2001.
↑ Джон Б. Фен Машины, Энергия, Энтропия / Ю. Г. Рудой. — Издательство «МИР», 1986. — С. 53. — 333 с.
↑ Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.

Հոդված

↑ Neishtadt A. On stability loss delay for dynamical bifurcations(անգլ.) // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series S : журнал. — 2009. — Т. 2. — № 4. — С. 897–909. — ISSN 1937-1632. — doi:10.3934/dcdss.2009.2.897

Արտաքին հղումներ

Տես՝ параметр Վիքիբառարան, բառարան և թեզաուրուս

Այս հասկացության սահմանումները տե՛ս նաև հետևյալ բառարաններում
Մեծ խորհրդային հանրագիտարան
Մաթեմատիկական հանրագիտարան։ - Մ.: Խորհրդային հանրագիտարան։ Ի. Մ. Վինոգրադով: 1977-1985։

[MES_p451-2] 1,0 ^1,1 МЭС, 1995, էջ 451

[6] Внутри каждой из этих областей нужно быть аккуратным в интерпретации данного термина. Так слово параметр иногда используется как синоним аргумента функции, свойства системы, аксиомы, переменной, функции, атрибута и т. д.
Самая частая ошибка в использовании слова параметр заключается в отождествлении его с термином «переменная». Параметр — это величина, которая измеряется для вычисления переменной. Переменная — это величина, которая вычисляется путём выполнения различных операций (в том числе с участием ранее заданных или измеренных параметров) и, таким образом, является признаком объекта или системы.
Например, пусть у нас есть уравнение $y=kx+b$ , которое задаёт множество прямых на плоскости. Прежде чем мы сможем вычислить значение переменной $x$ в точке $y=0$ , мы должны задать значения параметров $k$ и $b$ (угол наклона и высота прямой), что эквивалентно измерению параметра $k$ с помощью транспортира и измерению параметра $b$ с помощью линейки.
Допустим после наших измерений, $k=2$ и $b=7$ , тем самым мы получим конкретную прямую $y=2x+7$ из множества всех прямых $y=kx+b$ .
Теперь вычислить значение переменной $x$ в точке $y=0$ можно решив уравнение $0=2x+7$ .

[7] Дополнительным источником ошибок в понимании и употреблении слова «параметр» является и используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.

[Andronov_ww-8] Андронов, 1981, Введение, էջ 15-34

[Andronov_part01-9] Андронов, 1981, Глава I. линейные системы, էջ 35-102

[11] Такой меняющий свою величину во времени параметр всё же не следует путать с переменными состояния: изменения переменных состояния системы к бифуркациям не приводят.

[b-Mat-Enc-Slov-1995ru-1] Математический энциклопедический словарь / Ю. В. Прохоров. — М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1995. — 847 с.

[b-Ushakov-2001ru-3] Д. Н. Ушаков Толковый словарь русского языка. — в 3 т., на основе 4-томного издания 1948 г.. — М.: «Вече», «Си ЭТС», 2001.

[b-Fen-1986ru-4] Джон Б. Фен Машины, Энергия, Энтропия / Ю. Г. Рудой. — Издательство «МИР», 1986. — С. 53. — 333 с.

[b-Andron-1981ru-5] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.

[a-Neishtadt-2009-10] Neishtadt A. On stability loss delay for dynamical bifurcations(անգլ.) // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series S : журнал. — 2009. — Т. 2. — № 4. — С. 897–909. — ISSN 1937-1632. — doi:10.3934/dcdss.2009.2.897

[B: 1]

[1]

[B: 2]

[B: 3]

[B: 4]

[2]

[3]

[4]

[5]

[A: 1]

[6]