Քառաչափ տարածություն

Տեսսերակտի 3D պրոյեկցիա, պարզագույն ռոտացիա

Քառաչափ տարածություն (նշանակվում է՝ 4D կամ $\mathbb {R} ^{4}$), մաթեմատիկական հասկացություն, որը ընդհանրացնում է եռաչափ տարածության հատկությունները։ Այն չպետք է շփոթել հարաբերականության տեսության քառաչափ տարածաժամանակի հետ (Մինկովսկու տարածություն)։

Հանրահաշվական քառաչափ տարածությունը կարող է կառուցվել որպես չորս հիմնական կոորդինատներով վեկտորների բազմություն։ Երկրաչափորեն, ամենապարզ դեպքերում, քառաչափ տարածությունը դիտարկում ենք որպես քառաչափ էվկլիդեսյան տարածություն, իսկ ավելի ընդհանուր դիտարկմամբ՝ այն ունի ոչ-էվկլիդեսյան մետրիկա, որը կետը տանում է կետի։

Քառաչափ էվկլիդյան տարածության երկրաչափությունը

Վեկտորներ

Կետերը և վեկտորները տրված կոորդինատային համակարգով եռաչափ տարածության մեջ տրվում են երեք կոորդինատներով, նմանապես, 4D տարածության մեջ՝ չորս կոորդինատներով։ Օրինակ՝

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.$

Վեկտորների գումարումը և հանումը կատարվում է բաղադրիչներով՝ ինչպես եռաչափ տարածությունում։ 4 վեկտորներով սկալյար արտադրյալը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.$

Ինչպես եռաչափ դեպքում, այստեղ ևս $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a}$ վեկտորների սկալյար քառակուսուց քառակուսի արմատ է հանվում նրա նորմը՝ $\Vert \mathbf {a} \Vert ={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$։ Վեկտորների կազմած անկյունը հաշվվում է այն բանաձևով, որով եռաչափ տարածությունում.

$\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\Vert \mathbf {a} \Vert \cdot \Vert \mathbf {b} ||}}.$

Ի տարբերություն եռաչափ տարածության, քառաչափ տարածության մեջ չկա վեկտորական արտադրյալի անալոգ, փոխարենը պետք է օգտագործել վեկտորական արտաքին արտադրյալ։

Տարածաչափություն

4D-ում մարմինների երկրաչափությունը շատ ավելի բարդ է, քան 3D-ում։ Եռաչափ տարածության մեջ բազմանիստերը սահմանափակվում են երկչափ բազմանկյուններով (նիստեր), իսկ 4D-ում, համապատասխանաբար, կան 4-բազմանիստեր, որոնք սահմանափակվում են 3-բազմանկյուններով։

3D-ում գոյություն ունեն 5 կանոնավոր բազմանիստեր, որոնք հայտնի են որպես Պլատոնյան մարմիններ։ 4 չափումներում կան 6 կանոնավոր ուռուցիկ 4-բազմանիստեր, որոնք պլատոնյան մարմինների անալոգներ են։ Եթե մեղմացնենք կանոնավորության պայմանները, ապա կստանանք լրացուցիչ 58 ուռուցիկ կիսականոնավոր 4-բազմանիստեր, որոնք նման են 13 կիսականոնավոր արքիմեդյան մարմիններին եռաչափ տարածությունում։ Եթե հանենք ուռուցիկության պայմանը, կստանանք լրացուցիչ 10 ոչ-ուռուցիկ կանոնավոր 4-բազմանիստեր։

Քառաչափ տարածության կանոնավոր պոլիտոպները
(Ցույց են տրված օրթոգոնալ պրոյեկցիաները յուրաքանչյուր Կոքստերի թվի համար)

A4, [3,3,3]	B4, [4,3,3]		F4, [3,4,3]	H4, [5,3,3]
Պենտախոր	Տեսսերակտ	Տասնվեցամիջուկ	Քսանչորսամիջուկ	Հարյուրքսանմիջուկ	Վեցհարյուրմիջուկ

Քառաչափ մարմինները պատկերելու մեթոդներ

Գծագրում հարթության վրա

Քլիֆորդի տորի ստերեոգրաֆիկական պրոեկցիա. կետերի բազմություն (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)), որը 3-ոլորտի ենթաբազմություն է

Պրոյեկցիան n-աչափ մարմնի պատկերումն է այսպես կոչված նկարային (պրոյեկցիոն) ենթատարածության վրա այն ձևով, որը ներկայացնում է օպտիկական մեխանիզմների երկրաչափական իդեալիզացիա։ Այսպես, օրինակ, իրական կյանքում օբյեկտի ստվերի ուրվագիծն այս օբյեկտի եզրագծի պրոյեկցիան է հարթ կամ մոտավորապես հարթին մակերևույթին` պրոյեկցիոն հարթության վրա։ Քառաչափ մարմինների պրոյեկցիան իրականացվում է եռաչափ տարածության վրա, այսինքն՝ քառաչափ տարածության համեմատությամբ՝ նկարային (պրոյեկցիայի) ենթատարածության վրա (այսինքն՝ պրոյեկցվող մարմնի գտնված տարածության չափումներից մեկով քիչ չափումներ ունեցող տարածությունում տարածություն մեջ)։ Պրոյեկցիաները լինում են զուգահեռ (պրոյեկցիոն ճառագայթները զուգահեռ են) և կենտրոնական (պրոյեկցիոն ճառագայթները դուր են գալիս ինչ-որ կետից)։ Երբեմն օգտագործվում են նաև ստերեոգրաֆիկական պրոյեկցիաներ։ Ստերոգրաֆիկական պրոյեկցիան կենտրոնական պրոյեցիա է, որը պատկերում է n-աչափ գնդի n-1-ոլորտը n-1 հիպերհարթության վրա։ N-1-ոլորտ (հիպերոլորտ) կոչվում է ոլորտի ընդհանրացումը, հիպերմակերևույթը n-աչափ (n չափումների քանակով) էվկլիդեսյան տարածությունում, որը ձևավորվում է տվյալ կետից (որը կոչվում է ոլորտի կենտրոն) հավասարաչափ հեռավորությամբ կետերով, իսկ հիպերգունդը մարմին է (հիպերտարածության մաս), որը սահմանափակում է հիպերոլորտով։

Հատույթներ

Պենտախորի հատույթը տետրաեդրով կենտրոնական պրոյեկցիայում

Հատույթը հարթությամբ մարմնի հատմամբ ստացված պատկերի ներկայացումն է առանց այդ հարթության հետևում մնացած հատվածների պատկերման։ Այնպես, ինչպես կառուցվում են եռաչափ մարմինների երկչափ հատույթները, հնարավոր է կառուցել քառաչափ մարմինների եռաչափ հատւյթները, և այնպես, ինչպես նույն եռաչափ մարմնի երկչափ հատույթները կարող են միմյանցից շատ տարբեր լինել տեսքով, այնպես էլ եռաչափ հատույթները էլ ավելի բազմազան են, քանի որ դրանք փոխվում են նաև նիստերի քանակը և հատույթի յուրաքանչյուր նիստի կողմերի քանակը։ Եռաչափ հատույթների կառուցումը ավելի բարդ է, քան պրոյեկցիաների ստեղծումը, քանի որ պրյեկցիաները կարող են (հատկապես պարզ մարմինների համար) ստացվել երկչափերների անալոգով, իսկ հատույթները կառուցվում են միայն տրամաբանական ուղով, ընդ որում՝ յուրաքանչյուր դեպք դիտարկվում է առանձին։

Փռվածք

Տեսսերակտի փռվածք

Հիպերմակերևույթի փռվածքը պատկեր է, որն ստացվում է հիպերհարթությունում (ենթատարածություն) տվյալ հիպերմակերևույթի կետերի ու տվյալ հարթության այնպիսի համադրմամբ, որի դեպքում գծերի երկարությունները մնում են անփոփոխ։ Այնպես, ինչպես եռաչափ բազմանիստերը կարելի է ստանալ թուղթը ծալելով, բազմաչափ մարմինները կարող են ներկայացվել իրենց հիպերմակերևույթների փռվածքների ձևով։

Ուսումնասիրման փորձեր

1853 թվականին Բեռնարդ Ռիմանը տեսականորեն հիմնավորել է n-աչափ տարածության գոյության հնարավորությունը, ինչից հետո տարածության հիպոթետիկ հավելյալ չափերը հայտնաբերելու և ուսումնասիրելու բազմաթիվ փորձեր են արվել ինչպես լուրջ գիտնականների, այնպես էլ տարբեր օկուլտիստների և էզոթերիոլոգների կողմից։ Անգլիացի մաթեմատիկոս Չարլզ Հինթոնը հրատարակել է այս թեմային նվիրված մի շարք գրքեր և խորապես ուսումնասիրել է վիզուալիզացիայի խնդիրը։ Նրա կարծիքով՝ մեր եռաչափ աշխարհը մեզ համար անտեսանելի քառաչափ տարածությունը բաժանում է երկու մասի (այնպես, ինչպես հարթությունը երկու մասի է բաժանում մեր տարածությունը)։ Նա պայմանականորեն այդ մասերն անվանել է հունարեն Անա (վերին աշխարհ) և Կատա (ստորին աշխարհ) բառերով։

19-րդ դարի երկրորդ կեսին և 20-րդ դարի սկզբներին, այս թեմայի ուսումնասիրությունը հիմնավորապես վարկաբեկվել է սպիրիտիզմով, որն անտեսանելի չափումները դիտարկում էր որպես մեռյալ հոգիների բնակության վայր, իսկ Անայի և Կատայի աշխարհները հաճախ նույնացվել են դժոխքի և դրախտի հետ։ Դրանում իրենց ներդրումն են ունեցել փիլիսոփաներն ու աստվածաբանները։ Միևնույն ժամանակ, հարցը գրավել է այնպիսի նշանավոր գիտնականների ուշադրությունը, ինչպիսիք են ֆիզիկոսներ Ուիլյամ Կրուքսը և Վիլհելմ Վեբերը, աստղագետ Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Ցյոլները («Տրանսցենդենտալ ֆիզիկա» գրքի հեղինակ), Նոբելյան մրցանակի դափնեկիրներ լորդ Ռելեյը և Ջոզեֆ Ջոն Թոմսոնը։ Թեմայի վերաբերյալ ռուս ֆիզիկոս Դմիտրի Բոբիլյովը գրել է հանրագիտարանային հոդված։

Ֆիզիկոս և փիլիսոփա Էռնստ Մախը բազմիցս կարծիք է հայտնել, որ տարածության չափերի քանակը պարտադիր չէ, որ երեքին հավասար լինի, օրինակ՝ 1872 թվականի հոդվածում. «Այն, որ մինչև հիմա չի հաջողվել ստեղծել էլեկտրաէներգիայի բավարար տեսություն, դա կախված է, թերևս, այն փաստից, որ էլեկտրական երևույթներն անպայման ցանկացել են բացատրել եռաչափ տարածության մոլեկուլային գործընթացներով»։ 1914 թվականին Գունար Նորդստրյոմը հրապարակել է ձգողականության նոր տեսության իր տարբերակը՝ հիմնվելով հնգաչափ տարածաժամանակում քառաչափ տարածության վրա (4+1 մոդել), սակայն այդ տեսությունը հակասել է դիտարկումներին և մերժվել։ 1920-ական թվականներին հայտնվել է երկրաչափական կառուցվածքով դրան մոտ (նույն 4+1 մոդելը) Կալուցա-Քլեյնի տեսությունը, որը համատեղում է Էյնշտեյնի հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը և Մաքսվելիի էլեկտրամագնիսականությունը, բոլոր էֆեկտները բացատրվել են տարածության և ժամանակի երկրաչափական հատկություններով։ Ժամանակակից լարերի տեսության մեջ տարածաժամանակն ունի 11 չափում։

Գրականության մեջ

Տարածության լրացուցիչ չափումների թեման և դրան հարակից զուգահեռ աշխարհների թեման վաղուց մեծ տարածում է գտել գիտական ֆանտաստիկայի և փիլիսոփայական գրականության մեջ։ Ժամանակի մեջ կատարվող ճանապարհորդությունն առաջիններից մեկը նկարագրել է Հերբերտ Ուելսը, որն իր մյուս շատ ստեղծագրծություններում նույնպես անդրադարձել է տարածության անտեսանելի չափումներին, ինչպիսիք են՝ «Կախարդական այց», «Նշանակալի դեպք՝ Դևիդսոնի աչքերով», «Բյուրեղյա ձու», «Գողացված մարմին», «Մարդիկ որպես աստվածներ», «Պլատների պատմությունը»։ Վերջին պատմության մեջ մի մարդ, որն աղետի հետևանքով դուրս է նետվել մեր աշխարհից, հետո վերադարձել, ենթարկվում է տարածական արտացոլման, օրինակ, նրա սիրտը աջ կողմում է։ Վլադիմիր Նաբոկովը նկարագրել է տարածական կողմնորոշման նմանատիպ փոփոխություն «Նայիր առլեկիններին» վեպում (1974): 20-րդ դարի երկրորդ կեսի գիտական ֆանտաստիկայի մեջ չորրորդ չափումն օգտագործել են այնպիսի խոշոր գրողներ, ինչպիսիք են Այզեկ Ազիմովը, Արթուր Կլարկը, Ֆրեդերիկ Պոլը, Քլիֆորդ Սայմակը և շատ ուրիշներ։ Քառաչափ տեսերակտի ստեղծումն ընկած է Ռոբերտ Հայնլայն պատմվածքի սյուժեի հիմքում։

Վալերի Բրյուսովը 1924 թվականին գրել է «N չափումների աշխարհ» (ռուս.՝ «Мир N измерений») բանաստեղծությունը։

Միստիկ գրականության մեջ չորրորդ չափումը հաճախ նկարագրվում է որպես դևերի կամ մեռյալ հոգիների բնակության վայր։ Այս մոտիվները հանդիպում են, օրինակ, Ջորջ Մակդոնալդի մոտ («Լիլիթ» վեպ), Ամբրոզ Բիրսի մի քանի պատմվածքներում, Անտոն Չեխովի «Գաղտնիքը» (ռուս.՝ «Тайна») պատմվածքում։ Ջոզեֆ Քոնրադ և Ֆ. Մ. Ֆորդի «Ժառանգները» (The Inheritors, 1901) վեպում չորրորդ չափման բնակիչները փորձում են գրավել մեր տիեզերքը։ Եռաչափ տարածության մեջ կորերը կարող են կազմել հանգույցներ, բայց մակերևույթները չեն կարող (եթե դրանք ինքնահատվող չեն)։ 4D-ում իրավիճակը փոխվում է. կորերի հանգույցները հնարավոր է հեշտությամբ քանդել՝ օգտագործելով չորրորդ չափումը, իսկ երկչափ մակերևույթներից կարող են ձևավորվել ոչ հարթ (ոչ ինքնահատվող) հանգույցներ։ Քանի որ այս մակերևույթները երկչափ են, նրանք կարող են ձևավորել ավելի բարդ հանգույցներ, քան եռաչափ տարածքում։ Մակերևույթների այդպիսի հանգույցի օրինակ է հայտնի «Կլայնի շիշը»։

Նկարչական արվեստում

Չորրորդ չափման հայեցակարգը էական ազդեցություն է ունեցել նկարչական արվեստների վրա։ Հեռանկարի դերը նվազել է, օրինակ՝ կուբիստները (Պիկասո, Մետցենժե և այլք) իրենց նկարներում հաճախ պատկերել են մարդկանց և առարկաներ միաժամանակ տարբեր ռակուրսներից՝ դրանով իսկ ավելացնելով չափեր (օրինակ՝ «Ավինյոնի աղջիկները» նկարը)։ Գիյոմ Ապոլիները 1913 թվականին գրել է.

Այսօր գիտնականներն այլևս իրենց չեն սահմանափակում Էվկլիդեի երեք չափումներում։ Եվ նկարիչները, ինչը միանգամայն բնական է (չնայած ինչ-որ մեկը կասի, որ միայն ինտուիցիայի շնորհիվ է), ստացել են տարածական չափումների նոր հնարավորություններ, ինչը ժամանակակից ստուդիաների լեզվով կոչվել է չորրորդ չափում։ Գիտակցության մեջ գոյություն ունենալով օբյեկտի պլաստիկության ձևով՝ չորրորդ չափումը ծագում է երեք հայտնի չափումների շնորհիվ. այն ներկայացնում է տարածության հսկայականությունը բոլոր ուղղություններով յուրաքանչյուր տվյալ պահի։ Սա ինքնին տարածություն է, հենց անսահմանության չափումը. չորրորդ չափումը օբյեկտներին տալիս է պլաստիկություն։

Նոր գործիքների որոնմամբ զբաղվել է սյուրռեալիստ Մարսել Դյուշանը, որը լավ ծանոթ էր բազմաչափ մաթեմատիկային և դրա արտացոլման մեթոդներին։ Նրա ստեղծագործության առավել բնութագրական օրինակներից են «Մերկը աստիճանների վրա, № 2» և «Մեծ ապակի» նկարները։ Նմանատիպ մոտիվներ կարելի է գտնել ֆուտուրիստների, սուպրեմատիստների («այս շրջանի Մալևիչի գործերը հիշեցնում են ավելի բարձր չափումների առարկաների հարթ հատույթներ») և սյուրռեալիստների աշխատանքներում։ Սալվադոր Դալին ևս ունի նկարներ` «Խաչելություն, կամ Հիպերխորանարդային մարմին» և «Չորրորդ չափման որոնում»։

Տես նաև

• Հիպերխորանարդ

Գրականություն

• Владимиров Ю. С. Пространство-время: явные и скрытые размерности. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 208 с. — (Науку — всем! Шедевры научно-популярной литературы). — ISBN 978-5-397-01072-6
• Ибаньес, Рауль. Четвёртое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 6). — ISBN 978-5-9774-0631-4

Հղումներ

• Dimensions — видео-прогулка по математическим размерностям, различные представления многомерных объектов, подробные примечания со ссылками(ռուս.)
• Покадровая анимация 4D—3D аналогий(անգլ.)
• Найти выход из лабиринта в 3Д и 4Д. Удобное управление на клавиатуре. Java(անգլ.) или для WinXP
• Jenn3D(անգլ.) 
• 4D евклидово пространство Արխիվացված 2016-04-13 Wayback Machine(անգլ.)
• 4D Building Blocks — Interactive game to explore 4D space(անգլ.)
• 4DNav — Простой инструмент для просмотра 4-мерного объекта в четырёх 3-мерных проекциях(ֆր.) использует алгоритм прямолинейного проектирования ADSODA(անգլ.)
• Вики-сборник 4-мерия Гаррета Джонса(անգլ.)