Línulegt jöfnuhneppi

Línulegt jöfnuhneppi er hneppi/safn af jöfnum með ótilgreint margar breytur og ótilgreint margar jöfnur. T.d. eru tvær jöfnur eins og

{\begin{matrix}2x+3y&=&4\\5x-4y&=&7\\\end{matrix}}

línulegt jöfnuhneppi. Þær eru hneppi því þær standa tvær saman og hafa sömu breyturnar, x og y sem gefur samband á milli þessara tveggja breyta, þ.e.a.s. að í annarri jöfnunni er þegar x tekur eitthvað gildi þá verður það að taka sama gildi í hinni jöfnunni og sama með y. Svo eru þær línulegar því hver jafna fyrir sig er línuleg.

Formlegri skilgreining

Í línulegri algebru er raðað safn af einni eða fleirum línulegum jöfnum kallað línulegt jöfnuhneppi og eru þau oftast sett fram þar sem fyrsta jafnan er efst eins og að neðan:

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

þar sem breyturnar eru ekki af hærra en fyrsta stigi og stuðlarnir eru óháðir breytunum.

Lausn á línulegu jöfnuhneppi er n-víður vigur $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ sem uppfyllir allar jöfnurnar, og mengi allra lausna jöfnuhneppisins kallast lausnamengi. Sé enginn vigur til sem leysir jöfnuhneppið er kerfi línulegu jafnanna sagt ósamkvæmt. Sé til ein eða fleiri lausnir er það því samkvæmt. Ef ein eða fleiri af jöfnunum eru línulega háðar þá er til fleiri en ein lausn, en þá verður lausnarvigurinn að innihalda stika eða lausa breytu sem gerir það að verkum að vigurinn geti tekið á sig öll hugsanleg gildi.

Sé vigurinn $(b_{1},b_{2},...b_{m})$ núllvigurinn er jöfnuhneppið sagt óhliðrað (e. homogeneous), annars er það hliðrað. Óhliðruð jöfnuhneppi hafa annaðhvort bara lausnina $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ , eða það hefur óendanlega margar lausnir.

Línuaðgerðir

Línuaðgerðir eru aðgerðir sem notaðar eru til að leysa línuleg jöfnuhneppi, og eru þær þrjár:

Hægt er að víxla á jöfnum
$R_{i}\leftrightarrow R_{j}$
Hægt er að margfalda línu með fasta sem er ekki jafn núlli
$kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0$
Hægt er að margfalda eina línu í jöfnunni með fasta og leggja hana við aðra jöfnu í hneppinu
$R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i}$

Hvernig leysa skal línuleg jöfnuhneppi

Línuleg jöfnuhneppi er oftast leyst með Gauß-eyðingu, en í henni er línuaðgerðum beitt á jöfnuhneppið uns það er á efra stallagerð.

Gauß-eyðingin er framkvæmt í nokkrum skrefum eða með því að:

Kanna hvort að til sé jafna í hneppinu sem ekki hafi lausn; eða hvort sé í hneppinu jafna þar sem stuðlarnir við allar breytur eru núll, en þar sem talan hægra megin við samasem-merkið sé ekki núll. Þá sést að hneppið gangi ekki upp og þá er hneppið óleysanlegt.
Valin er ein jafna sem hefur forustubreytu sem er lengst til vinstri, og er þeirri jöfnu skipt út fyrir efstu jöfnuna. (línuaðgerð 1)
Með því að nota línuaðgerð 3 til þess að eyða öllu fyrir neðan forustubreytu efstu breytunnar fæst jöfnuhneppi þar sem forustubreyturnar hjá öllum línum fyrir neðan þá efstu eru hægra megin við forustubreytu efstu línunnar.
Síðasta skrefið er að taka jöfnuhneppið sem er myndað úr jöfnunum fyrir neðan efstu jöfnuna og svo eru skrefin að ofan síendurtekin, eða uns jöfnuhneppi af efra stallagerð kemur fram.

Þegar koma fram jöfnur á forminu $0=0$ má strika þær út úr jöfnuhneppinu.

Stuðlafylki

Stuðlafylki línulegs jöfnuhneppis er m × n fylki sem inniheldur stuðla allra jafnanna:

A=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{matrix}}\right]

Hægri hlið línulegs jöfnuhneppis er vigurinn $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{m})$ . Ef ákveða stuðlafylkisins er núll eru ein eða fleiri jöfnur línulega háðar.

Hægt er að leysa jöfnuhneppið með því að skrifa það upp sem aukið fylki (auka það um vigurinn b) og beita á það reikniriti Gauss.

[A|b]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{matrix}}{\Bigg |}{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\\\end{matrix}}\right]