Disuguaglianza di Popoviciu

In analisi matematica, la disuguaglianza di Popoviciu è una disuguaglianza riguardante le funzioni convesse. È simile alla disuguaglianza di Jensen e fu pubblicata nel 1965 dal matematico rumeno Tiberiu Popoviciu.

Enunciato

Sia ƒ una funzione da un intervallo $I\subseteq \mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$. Se ƒ è convessa, allora per tre punti qualsiasi $x,y,z$ di $I$,

${\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right].$

Viceversa, se ƒ è continua, allora è convessa se e solo se la disuguaglianza precedente vale per ogni x, y, z in $I$. Se ƒ è strettamente convessa, la disuguaglianza è stretta ad eccezione del caso x = y = z.

Vi sono delle generalizzazioni pesate di questa disuguaglianza, oppure con un qualsiasi numero finito di punti anziché 3.