Funzione aritmetica

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali positivi e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n".

In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche. Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative. Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.

Proprietà

Una funzione aritmetica f può essere:

• additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
• completamente additiva, se f(nm)=f(n)+f(m) per ogni n,m numeri naturali;
• moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali coprimi;
• completamente moltiplicativa, se f(nm)=f(n)f(m) per ogni n,m numeri naturali.

Funzioni additive

ω(n) – divisori primi distinti

La funzione ω(n) indica il numero di primi distinti che dividono n

$\omega (n)=k,$

se $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

Funzioni completamente additive

Ω(n) – divisori primi

La funzione Ω(n) indica il numero di fattori primi di n contati con molteplicità

$\Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}a_{i},$

se $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

ν_p(n) – divisori potenze di primi

La funzione valutazione p-adica ν_p(n) indica il massimo esponente elevato al quale p divide n

$\nu _{p_{j}}(n)=a_{j},$

se $n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}$, con p_i primi distinti e a_i interi positivi.

Funzioni moltiplicative

σ_k(n), τ(n), d(n) – somme di divisori

La funzione σ_k(n) è la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n, incluso 1 e n, dove k è un numero complesso.

$\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).$

Nel caso particolare k=0, la funzione σ₀(n) è semplicemente il numero dei divisori (positivi) n; ed è solitamente indicata semplicemente con d(n) o τ(n) (dal tedesco Teiler = divisore).

Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha

$\tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).$

Nel caso particolare k=1, la funzione σ₁(n) è semplicemente la somma dei divisori (positivi) di n ed è solitamente indicata semplicemente con σ(n).

φ(n) – funzione toziente di Eulero

La funzione toziente di Eulero φ(n) è il numero degli interi positivi minori di n coprimi con n.

$\varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).$

J_k(n) – funzione toziente di Jordan

La funzione toziente di Jordan J_k(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.

$J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\ldots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).$

Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione toziente di Eulero J₁(n)=φ(n).

μ(n) - funzione di Möbius

La funzione di Möbius μ(n) è importante a causa della formula di inversione di Möbius.

$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}$

Funzioni completamente moltiplicative

λ(n) – funzione di Liouville

La funzione di Liouville λ(n) è definita da

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.$

χ(n) – caratteri

Tutti i caratteri di Dirichlet χ(n) sono completamente moltiplicativi.

Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):

${\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.$

In questa formula $({\tfrac {a}{p}})$ è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0{\mbox{ if }}a\equiv 0{\pmod {p}}\\+1{\mbox{ if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\mbox{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\mbox{ if there is no such }}x.\end{cases}}$

per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha $\left({\frac {a}{1}}\right)=1.$

Funzioni né additive né moltiplicative

π(x) – enumerazione di primi

Diversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).

La funzione enumerativa dei primi π(x) è il numero dei numeri primi minori o uguali a x.

$\pi (x)=\sum _{p\leq x}1$

Ad esempio si ha che π(1) = 0 e π(10) = 4 (i primi minori di 10 sono 2, 3, 5, e 7).

Λ(n) – funzione di von Mangoldt

La funzione di von Mangoldt Λ(n), è definita

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ is a prime power}}\\0&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not a prime power}}.\end{cases}}$

p(n) – funzione partizione

La funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):

$p(n)=|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.$

r_k(n) – somma di quadrati

La funzione r_k(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)

$r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|.$

Ad esempio r₄(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio

$1=(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2}+0^{2}=0^{2}+0^{2}+0^{2}+(\pm 1)^{2},$

dunque r₄(1)=8.

Bibliografia

• Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).

Voci correlate

• Successione di interi
• Funzione di Möbius
• Funzione φ di Eulero

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