均衡集合

線型代数学および関連する数学の分野における均衡集合（きんこうしゅうごう、英: balanced set）、あるいは円集合、または円板とは、絶対値 |.| を備える体 K 上のベクトル空間内の集合 S であって、|α| ≤ 1 を満たすような全てのスカラー α に対して

$\alpha S\subseteq S$

が成立するようなもののことである。ここで

$\alpha S:=\{\alpha x\mid x\in S\}$

である。

集合 S の均衡包（balanced hull）あるいは均衡包絡集合（balanced envelope）とは、S を含むような最小の均衡集合のことである。それは S を含むような全ての均衡集合の共通部分として構成される。

例

• ノルムベクトル空間内の単位球は、均衡集合である。
• 実あるいは複素ベクトル空間の任意の部分空間は、均衡集合である。
• 均衡集合の族の直積（デカルト積）は、同じ体 K 上の対応するベクトル空間の直積において、均衡である。
• 一次元ベクトル空間として、複素数体 C を考える。その空間内の均衡集合は、C それ自身か、空集合、および 0 を中心とする開円板と閉円板（平面上の点として各複素数を可視化した場合）である。一方、二次元ユークリッド空間においてはさらに多くの均衡集合が存在する:(0,0) を中点とする任意の線分が均衡集合となる。結果として、ベクトル空間の構造に関して言えば、C と R² は全く違うものであるということが分かる。
• p を線型空間 X の半ノルムとしたとき、任意の定数 c > 0 に対して、集合 {x ∈ X | p(x) ≤ c} は均衡となる。

性質

• 均衡集合の和集合および共通部分は、均衡集合である。
• 均衡集合の閉包は、均衡集合である。
• （性質からではなく）定義から、ある集合が絶対凸であることと、それが凸かつ均衡であることは、同値である。

関連項目

• 星状領域

参考文献

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press. p. 4 
• W. Rudin (1990). Functional Analysis (2nd ed ed.). McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054236-8 
• H.H. Schaefer (1970). Topological Vector Spaces. GTM. 3. Springer-Verlag. p. 11. ISBN 0-387-05380-8