კანტორის თეორემა

{x, y, z}-ის კარდინალობა არის 3, როდესაც მისი ქვესიმრავლეების რაოდენობა არის 8

სიმრავლეთა თეორიაში კანტორის თეორემა — ნებისმიერი სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე უფრო მაღალი კარდინალობისაა ვიდრე თვითონ ეს სიმრავლე. ანუ შეუძებელია არსებობდეს ფუნქცია სიმრავლიდან მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლეში, რომლისთვისაც მნიშვნელობათა არე მთელი ქვესიმრავლეთა სიმრავლეა.

გეორგ კანტორმა ეს თეორემა, თავისი დამტკიცებით (რომელიც აქვეა მოყვანილი) გამოაქვეყნა 1891 წელს. მიუხედავად იმისა, რომ მანამდე არსებობდა ნამდვილი რიცხვების სიმრავლის არათვლადობის სხვა დამტკიცებები, ეს დამტკიცება მათზე უფრო მარტივი აღმოჩნდა და დღემდე ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის არათვლადობა ამ დამტკიცების გამოყენებით ისწავლება.

დამტკიცება

ამ თეორემის დამტიკების ყველაზე გავრცელებული მეთოდი ცნობილია როგორც კანტორის დიაგონალური არგუმენტი. რადგან, როდესაც ამ მეთოდით ვამტკიცებთ რომ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე არათვლადია, იმ ფუნქციას, რომელიც არარსებობას ვამტკიცებთ კვადრანტში ვწერთ და მის დიაგონალზე განლაგებულ რიცხვებს განვიხილავთ.

უშუალოდ დამტკიცება კი ასეთია:

დავუშვათ A არის განსახილველი სიმრავლე P(A) კი მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. დავუშვათ თეორემის საწინააღმდეგო - რომ არსებობს ფუნქცია f A-დან P(A)-ში, რომელიც P(A)-ს თითოეულ ელემენტს ფარავს.

განვიხილოთ A-ს შემდეგი ქვესიმრავლე. $B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\}.$

მაშინ სიმრავლე B არის f-ის მნიშვნელობათა არეში დაშვების თანახმად. ანუ B=f(x) (სადაც x A-ს რომელიმე ელემენტია). გვაქვს ორი შესაძლო შემთხვევა:

1. $x\in f(x)$ ანუ B-ს განმარტებით $x\not \in B$. მაგრამ f(x) და B ერთიდაიგივეა და არ შეიძლება x თან ეკუთვნოდეს და თან არ ეკუთვნოდეს ერთსადაიმავე სიმრავლეს.
2. $x\not \in f(x)$ ანუ B-ს განმარტებით $x\in B$. ამ შემთხვევაშიც იგივე პრობლემას ვაწყდებით.

ანუ ორივე შემთხვევას წინააღმდეგობაში შევყავართ. შესაბამისად ჩვენი საწყისი დაშვება f ფუნქციის არსებობის შესახებ არასწორი იყო. რითიც თეორემა დამტკიცებულია.

ლიტერატურა

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.