მთელი და წილადი ნაწილის ფუნქციები

მთელი და წილადი ნაწილის ფუნქციები — მათემატიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებებში მნიშვნელოვანი გამოყენება აქვთ $\left[x\right]$ მთელი ნაწილის და $\left\{x\right\}$ წილადი ნაწილის ფუნქციებს. როგორც წესი ისინი განსაზღვრულია $\mathbb {R}$ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე.

ორივე ფუნქიის აღწერა:

$1)\forall x\in \left[n,n+1\right):\left[x\right]=n,n\in \{0,1,2,\dots \};$

$2)\forall x\in \mathbb {R} :\left[x\right]+\left[-x\right]=-1+\chi \left(x\in \mathbb {Z} \right);$

$3)\forall x\in \mathbb {R} :x=\left[x\right]+\left\{x\right\};$

$4)\forall x\in \mathbb {R} :\left\{x\right\}+\left\{-x\right\}=1-\chi \left(x\in \mathbb {Z} \right).$

პირველი ორი თვისება სტანდარტად არის მიღებული, ხოლო მეორე ორი შეთანხმებაზეა დამოკიდებული.

აღნიშვნა და მაგალითები

მოცემული $x$ რიცხვის მთელი ნაწილისთვის გამოიყენებოდა $[x]$ აღნიშვნა, რომელიც შემოიღო გაუსის. 1962 წელს კენეტ აივერსონმა (Кеннет Айверсон) შემოიღეს აღნიშვნები $x$ რიცხვის დამგვალებისთვის უმცირეს მთელ რიცხვამდე, რომელიც მასზე დიდია $\lceil x\rceil$ „ჭერი“ და უდიდესი მთელ რიცხვამდე, რომელიც მასზე მცირეა $\lfloor x\rfloor$ „იატაკი“.

თანამედროვე მათემატიკაში გამოიყენება ორივე აღნიშვნა, $[x]$ და $\lfloor x\rfloor$. თუმცა შეიმჩნევა ტენდენცია აივერსონის აღნიშვნებზე გადასვლისა და ამის მიზეზია ორაზროვნება, თუ რა უნდა გავიგოთ „მთელი ნაწილის“ ქვეშ. მაგალითად $2.7$-ის მთელი ნაწილი არის $2,$ მაგრამ $-2.7$-ის მთელ ნაწილად ვიღებთ $-3$-ს, თუმცა ამაზეც არ არის მიღწეული საბოლოო შეთანხმება, რაც გამოიხატება მათემატიკურ პროგრამებში და კალკულიატორებში.

თუმცა ამ აღნიშვნებსა და მოსაზრებებს შორის არის ურთიერთ ცალსახა დამოკიდებულება, ანუ გაუსის აღნიშვნებიდან შეგვიძლია აივერსონის აღნიშვნებში გადავიდაეთ და პირიქით. რადგან ეს ორაზროვნება გვინდა თავიდან ავიცილოთ, ჩვენ გამოვიყენებთ ზემოთ მოყვანილ ოთხ განსაზღვრებას.

ლიტერატურა

• Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник., Конкретная математика, М.: «Мир», 1998. — გვ. 703, ISBN 5-03-001793-3.
• М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко., Алгебра и начала анализа, АО Столетие, 1996.