ნატურალური ლოგარითმი

ნატურალური ლოგარითმის ფუნქციის გრაფიკი. ფუნქცია ნელა მიიწევს დადებითი უსასრულობისკენ x-ის ზრდასთან ერთად და სწრაფად ეშვება უარყოფითი უსასრულობისკენ x-ის ნულთან მიახლოებასთან ერთად; y-ღერძი ასიმპტოტაა.

ნატურალური ლოგარითმი — ლოგარითმი ფუძით e (e მათემატიკური მუდმივაა, რომელიც მიახლოებით 2.718-ის ტოლია). x-ის ნატურალური ლოგარითმი ჩაიწერება, როგორც ln(x), log_e(x) ან, კონტექსტიდან გამომდინარე, log(x).

რიცხვი x-ის ნატურალური ლოგარითმი (ანუ ln(x)) არის ხარისხი, რომელშიც უნდა ავიყვანოთ e, რათა მივიღოთ x. მაგალითად, ln(7.389...) უდრის 2-ს, რადგან e²=7.389.... e-ს ნატურალური ლოგარითმი (ln(e)) 1-ის ტოლია, რადგან e¹ = e, ხოლო 1-ის ნატურალური ლოგარითმი (ln(1)) 0-ის ტოლია, რახან e⁰ = 1.

ყველა დადებითი ნამდვილი რიცხვისთვის x ნატურალური ლოგარითმი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც y = 1/t წირის ქვეშ მოქცეული ფართობი 1-იდან x-ამდე. სახელწოდება „ნატურალური“ ამ ფორმულის, ისევე როგორც ამ ლოგარითმთან დაკავშირებული სხვა ფორმულების, სიმარტივითაა განპირობებული. ნატურალური ლოგარითმის განმარტება შესაძლოა კომპლექსურ რიცხვებზეც განივრცოს (იხ. ქვემოთ).

ნამდვილი არგუმენტისთვის, ნატურალური ლოგარითმის ფუნქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციის შექცეულ ფუნქციას წარმოადგენს, რასაც შემდეგ იგივეობებამდე მივყავართ:

$e^{\ln(x)}=x,\qquad x>0$

$\ln(e^{x})=x.\,\!$

როგორც ყველა სხვა ლოგარითმი, ნატურალური ლოგარითმიც გამრავლებას შეკრებად გარდაქმნის:

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\!\,$

ლოგარითმების განსაზღვრა ნებისმიერი დადებითი ფუძისთვის შეიძლება 1-ის გარდა; თუმცა სხვა ფუძის ლოგარითმები ნატურალური ლოგარითმის მეშვეობით ძალიან მარტივად ჩაიწერება, რის გამოც მათი განმარტება ხშირად სწორედ ნატურალური ლოგარითმით ხდება. ლოგარითმები გამოიყენება, როცა განტოლების უცნობი განტოლების სხვა რომელიმე წევრის ხარისხია. გარდა ამისა, ლოგარითმების გამოყენებით შეიძლება ნახევარდაშლის პერიოდთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.