이중 타원 전이

이중 타원 전이(영어: Bi-elliptic transfer)는 우주선을 한 궤도에서 다른 궤도로 이동시키는 방법 중 하나로, 반으로 잘린 타원 궤도 두 개가 사용된다.

출발 궤도에서 첫 번째 분사를 통해 중심체에서 궤도 원점이 $r_{b}$만큼 떨어진 궤도로 옮겨간 다음, 원점에서의 두 번째 분사를 통해 근점을 최종 목표 궤도의 고도로 맞춘 다음, 세 번째 분사로 목표 궤도에 진입한다. 호만 전이에 비해 엔진 분사가 한 번 더 필요하고 전이 시간도 길지만, 조건에 따라서 이중 타원 전이가 호만 전이보다 델타 V의 소모량이 적은 경우도 있다.

계산

델타 V

저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 타원 전이의 모습.

세 번의 속도 변화는 모두 활력방정식에서 직접 유도할 수 있다.

$v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),$

• $v$은 위성의 속도이다.
• $\mu =GM$은 중심체의 표준 중력 변수이다.
• $r$은 중심체와 위성 사이의 거리, 즉 궤도 반지름이다.
• $a$은 위성의 궤도 긴반지름이다.

이를 이용해 다음 기호를 정의할 수 있다.

• $r_{1}$은 출발 궤도의 반지름이다.
• $r_{2}$은 최종 궤도의 반지름이다.
• $r_{b}$은 두 전이 궤도의 공통 원점 고도로, 이중 타원 전이의 자유 변수이다.
• $a_{1}$와 $a_{2}$은 두 타원 전이 궤도의 긴반지름으로, 다음과 같이 구할 수 있다.

  $a_{1}={\frac {r_{1}+r_{b}}{2}}$,

  $a_{2}={\frac {r_{2}+r_{b}}{2}}$.

반지름 $r_{1}$인 원 궤도에서 시작할 때, 순행 방향으로 분사하여 첫 번째 타원 전이 궤도로 들어가게 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다.

$\Delta v_{1}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{1}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}.$

첫 번째 타원 전이 궤도의 원점에 도달했으면 궤도 중심체와의 거리는 $r_{b}$가 된다. 둘째 분사를 통해 근지점의 궤도를 목표 원궤도로 올리면, 우주선의 궤도는 두 번째 타원 전이 궤도가 된다. 이 때 필요한 델타 V는 다음과 같다.

$\Delta v_{2}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{b}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}.$

마지막으로 고도 $r_{2}$인 지점에 도달하면, 역행 방향으로 분사하면 궤도가 원형이 되고, 목표 궤도에 진입하게 된다. 마지막 분사에 필요한 델타 V는 다음과 같다.

$\Delta v_{3}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{2}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}.$

만약 $r_{b}=r_{2}$라면 일반적인 호만 전이가 되며, $\Delta v_{3}=0$이 된다. 따라서 호만 전이는 이중 타원 전이에서 분사가 2번밖에 없는 특수한 경우로 정의할 수 있다.

저고도 궤도(파랑)에서 고고도 궤도(빨강)로 올라가는 이중 포물선 전이의 모습.

$r_{b}=\infty$로 둔다면 델타 V 절약량의 최대치를 계산할 수 있으며, 총 $\Delta v$는 ${\sqrt {\mu /r_{1}}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\left(1+{\sqrt {r_{1}/r_{2}}}\right)$로 단순화된다. 이 경우에는 타원 대신 포물선 궤도를 사용하기 때문에, 이중 포물선 전이라고 하기도 한다. 전이 시간은 무한이 된다.

전이 시간

호만 전이와 유사하게 이중 타원 전이에서도 타원 궤도의 반을 이용하기 때문에, 전이 시간은 각 궤도 주기의 반씩을 더한 것과 같다. 공전 주기를 계산하는 식은 다음과 같다.

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}.$

총 전이 시간 $t$는 각 궤도에서 보내는 시간의 합과 같다.

$t_{1}=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}\quad {\text{,}}\quad t_{2}=\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}$

$t=t_{1}+t_{2}.$

호만 전이와의 비교

델타 V

반지름 비의 함수로 나타낸, 호만 전이(두꺼운 검은 선)와 이중 타원 전이(색이 있는 선)의 델타 V 소모량.

반지름의 비 $R\equiv r_{2}/r_{1}$이 11.94보다 작을 시 호만 전이의 효율이 항상 좋다. 반면 $R$이 15.58이 넘을 시, 전이 궤도의 원점 $r_{b}$에 상관없이, 이중 타원 전이의 효율이 항상 좋다. 11.94와 15.58 사이에서는 $r_{b}$의 값에 따라 어느 전이 방법이 더 효율적인지가 결정된다.

이중 타원 전이의 $\Delta v$ 소모량이 호만 전이보다 더 작게끔 해주는 $\alpha \equiv r_{b}/r_{1}$의 최솟값

반지름의 비 $R\equiv {\frac {r_{2}}{r_{1}}}$	최소 $\alpha \equiv {\frac {r_{b}}{r_{1}}}$	참조
<11.94	빈칸	호만 전이가 항상 우세
11.94	$\infty$	이중 포물선 전이
12	815.81
13	48.90
14	26.10
15	18.19
15.58	15.58
>15.58	$>{\frac {r_{2}}{r_{1}}}$	이중 타원 전이가 항상 우세

전이 시간

$t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}$

이중 타원 전이의 긴 소요 시간은 큰 단점이며, 포물선이 될 경우 무한으로 발산한다. 호만 전이는 전이 궤도가 하나밖에 없기 때문에, 전이 시간은 이중 타원 전이의 절반 이하이다.

예시

r₀ = 6700 km인 지구 저궤도에서 r₁ = 93 800 km인 궤도로 올라가기 위해서는, 호만 전이를 이용할 시 Δv = 2825.02 + 1308.70 = 4133.72 m/s이 된다. 여기서 r₁ = 14r₀ > 11.94r₀이기 때문에, 이중 타원 전이로 효율을 더 높일 수 있다. 우주선이 처음에 3061.04 m/s만큼 가속하면 r₂ = 40r₀ = 268 000 km인 타원 궤도로 진입하고, 608.825 m/s를 추가로 가속하면 r₁ = 93 800 km인 타원 궤도로 진입하며, 마지막으로 447.662 m/s만큼 감속하면 목표 원궤도에 진입한다. 이 때의 총 Δv는 4117.53 m/s로, 호만 전이에 비해 16.19 m/s (0.4%) 적다.

Δv 절약량은 전이 궤도의 원점 고도를 증가시킴으로써 늘릴 수 있으며, 전이 시간도 같이 늘어난다. 예시로, 75.8r₀ = 507 688 km(달 궤도의 1.3배)까지 올라간다면 호만 전이에 비해 Δv를 1% 절약할 수 있으나, 전이 시간이 17일로 증가한다. 극적인 예시로, 1757r₀ = 11 770 000 km(달 궤도의 30배)까지 올라간다면 Δv를 2% 절약할 수 있지만, 전이 시간이 4.5년으로 늘며, 태양계 다른 천체들의 섭동을 받을 수 있다. 참고로 호만 전이로는 15시간 34분이 소요된다.

다양한 궤도 전이의 Δv

종류		호만	이중 타원
원지점 (km)		93 800	268 000	507 688	11 770 000	∞
분사 (m/s)	1	2825.02	3061.04	3123.62	3191.79	3194.89
	2	1308.70	608.825	351.836	16.9336	0
	3	0	447.662	616.926	842.322	853.870
총합 (m/s)		4133.72	4117.53	4092.38	4051.04	4048.76
호만 전이에 대한 비		100%	99.6%	99.0%	98.0%	97.94%

• 순행 방향의 Δv
• 역행 방향의 Δv

이중 타원 전이는 최초 분사에서의 델타 V 사용량이 더 높으며, 이로 인해 고유 궤도 에너지에 영향을 더 크게 준다. 또한 전체 델타 V가 감소하는 것은 오베르트 효과에 의한 것이다.

같이 보기

• 호만 전이 궤도