구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
수학 에서 구면 삼각형 (球面三角形, 영어 : spherical triangle )은 구 위의 세 대원호 에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학 의 평면 삼각형 의 구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법 (球面三角法, 영어 : spherical trigonometry )이라고 한다.
원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) 구
S
2
⊆
R
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}
볼록 구면 다각형 (-球面多角形, 영어 : convex spherical polygon )은 다음을 만족시키는 부분 집합
P
⊆
S
2
{\displaystyle P\subseteq \mathbb {S} ^{2}}
[ 1]
P
{\displaystyle P}
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
반구
H
1
,
…
,
H
n
⊆
S
2
{\displaystyle H_{1},\dots ,H_{n}\subseteq \mathbb {S} ^{2}}
P
=
⋂
k
=
1
n
H
k
{\displaystyle \textstyle P=\bigcap _{k=1}^{n}H_{k}}
int
P
≠
∅
{\displaystyle \operatorname {int} P\neq \varnothing }
P
{\displaystyle P}
내부점 을 가진다.
P
∩
(
−
P
)
=
∅
{\displaystyle P\cap (-P)=\varnothing }
P
{\displaystyle P}
대척점 쌍을 포함하지 않는다.각 반구
H
k
{\displaystyle H_{k}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
반공간
H
k
^
{\displaystyle {\widehat {H_{k}}}}
P
^
=
⋂
k
=
1
n
H
k
^
{\displaystyle \textstyle {\widehat {P}}=\bigcap _{k=1}^{n}{\widehat {H_{k}}}}
볼록추 를 이루는데, 이
P
^
{\displaystyle {\widehat {P}}}
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
P
{\displaystyle P}
꼭짓점 (-點, 영어 : vertex )이라고 하며,
P
^
{\displaystyle {\widehat {P}}}
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
P
{\displaystyle P}
변 (邊, 영어 : edge )이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우
P
{\displaystyle P}
(볼록) 구면 삼각형 ((-)球面三角形, 영어 : (convex) spherical triangle )이라고 한다.
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
A
,
B
,
C
∈
S
2
{\displaystyle A,B,C\in \mathbb {S} ^{2}}
동치 다.
A
,
B
,
C
∈
S
2
{\displaystyle A,B,C\in \mathbb {S} ^{2}}
O
A
→
,
O
B
→
,
O
C
→
∈
R
3
{\displaystyle {\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}}\in \mathbb {R} ^{3}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
선형 독립 이다.구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
대원호 의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.
a
=
B
C
=
arccos
(
O
B
→
⋅
O
C
→
)
{\displaystyle a=BC=\arccos({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}})}
b
=
A
C
=
arccos
(
O
C
→
⋅
O
A
→
)
{\displaystyle b=AC=\arccos({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}})}
c
=
A
B
=
arccos
(
O
A
→
⋅
O
B
→
)
{\displaystyle c=AB=\arccos({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}})}
구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각 과 같다.
A
=
arccos
(
O
B
→
−
(
O
A
→
⋅
O
B
→
)
O
A
→
)
⋅
(
O
C
→
−
(
O
A
→
⋅
O
C
→
)
O
A
→
)
|
O
B
→
−
(
O
A
→
⋅
O
B
→
)
O
A
→
|
⋅
|
O
C
→
−
(
O
A
→
⋅
O
C
→
)
O
A
→
|
=
arccos
n
O
A
B
⋅
n
O
A
C
|
n
O
A
B
|
|
n
O
A
C
|
{\displaystyle A=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OA}})\cdot ({\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OA}})}{|{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OA}}|\cdot |{\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OA}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OAB}\cdot \mathbf {n} _{OAC}}{|\mathbf {n} _{OAB}||\mathbf {n} _{OAC}|}}}
B
=
arccos
(
O
C
→
−
(
O
B
→
⋅
O
C
→
)
O
B
→
)
⋅
(
O
A
→
−
(
O
B
→
⋅
O
A
→
)
O
B
→
)
|
O
C
→
−
(
O
B
→
⋅
O
C
→
)
O
B
→
|
⋅
|
O
A
→
−
(
O
B
→
⋅
O
A
→
)
O
B
→
|
=
arccos
n
O
B
C
⋅
n
O
B
A
|
n
O
B
C
|
⋅
|
n
O
B
A
|
{\displaystyle B=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OB}})\cdot ({\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OB}})}{|{\overrightarrow {OC}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OC}}){\overrightarrow {OB}}|\cdot |{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OB}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OB}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OBC}\cdot \mathbf {n} _{OBA}}{|\mathbf {n} _{OBC}|\cdot |\mathbf {n} _{OBA}|}}}
C
=
arccos
(
O
A
→
−
(
O
C
→
⋅
O
A
→
)
O
C
→
)
⋅
(
O
B
→
−
(
O
C
→
⋅
O
B
→
)
O
C
→
)
|
O
A
→
−
(
O
C
→
⋅
O
A
→
)
O
C
→
|
⋅
|
O
B
→
−
(
O
C
→
⋅
O
B
→
)
O
C
→
|
=
arccos
n
O
C
A
⋅
n
O
C
B
|
n
O
C
A
|
⋅
|
n
O
C
B
|
{\displaystyle C=\arccos {\frac {({\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}})\cdot ({\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}})}{|{\overrightarrow {OA}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OA}}){\overrightarrow {OC}}|\cdot |{\overrightarrow {OB}}-({\overrightarrow {OC}}\cdot {\overrightarrow {OB}}){\overrightarrow {OC}}|}}=\arccos {\frac {\mathbf {n} _{OCA}\cdot \mathbf {n} _{OCB}}{|\mathbf {n} _{OCA}|\cdot |\mathbf {n} _{OCB}|}}}
구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 극 (極, 영어 : pole )은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.
구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
′
{\displaystyle A'}
B
C
{\displaystyle BC}
A
{\displaystyle A}
B
′
{\displaystyle B'}
C
A
{\displaystyle CA}
B
{\displaystyle B}
C
′
{\displaystyle C'}
A
B
{\displaystyle AB}
C
{\displaystyle C}
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
극삼각형 (極三角形, 영어 : polar triangle )이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.
0
=
O
A
′
→
⋅
O
B
→
=
O
A
′
→
⋅
O
C
→
=
O
B
′
→
⋅
O
A
→
=
O
B
′
→
⋅
O
C
→
=
O
C
′
→
⋅
O
A
→
=
O
C
′
→
⋅
O
B
→
{\displaystyle 0={\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}}
O
A
′
→
⋅
O
A
→
>
0
{\displaystyle {\overrightarrow {OA'}}\cdot {\overrightarrow {OA}}>0}
O
B
′
→
⋅
O
B
→
>
0
{\displaystyle {\overrightarrow {OB'}}\cdot {\overrightarrow {OB}}>0}
O
C
′
→
⋅
O
C
→
>
0
{\displaystyle {\overrightarrow {OC'}}\cdot {\overrightarrow {OC}}>0}
극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
B
′
,
C
′
{\displaystyle B',C'}
A
C
,
A
B
{\displaystyle AC,AB}
A
B
′
,
A
C
′
{\displaystyle AB',AC'}
A
{\displaystyle A}
B
′
C
′
{\displaystyle B'C'}
A
,
A
′
{\displaystyle A,A'}
B
C
{\displaystyle BC}
A
A
′
{\displaystyle AA'}
A
,
A
′
{\displaystyle A,A'}
B
′
C
′
{\displaystyle B'C'}
구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle A'B'C'}
a
′
,
b
′
,
c
′
{\displaystyle a',b',c'}
A
′
,
B
′
,
C
′
{\displaystyle A',B',C'}
a
+
A
′
=
b
+
B
′
=
c
+
C
′
=
a
′
+
A
=
b
′
+
B
=
c
′
+
C
=
π
{\displaystyle a+A'=b+B'=c+C'=a'+A=b'+B=c'+C=\pi }
이는 다음과 같이 증명할 수 있다.
B
′
C
′
{\displaystyle B'C'}
A
B
{\displaystyle AB}
D
{\displaystyle D}
B
′
C
′
{\displaystyle B'C'}
A
C
{\displaystyle AC}
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle A}
D
E
{\displaystyle DE}
B
′
E
,
C
′
D
{\displaystyle B'E,C'D}
B
′
C
′
+
A
{\displaystyle B'C'+A}
구면 삼각형에 대한 사인 법칙 은 다음과 같다.
sin
a
sin
A
=
sin
b
sin
B
=
sin
c
sin
C
{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}
구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
코사인 법칙 은 다음과 같다.
cos
a
=
cos
b
cos
c
+
sin
b
sin
c
cos
A
{\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}
cos
b
=
cos
c
cos
a
+
sin
c
sin
a
cos
B
{\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B}
cos
c
=
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
cos
C
{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}
구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
코사인 법칙 은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.
cos
A
=
−
cos
B
cos
C
+
sin
B
sin
C
cos
a
{\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a}
cos
B
=
−
cos
C
cos
A
+
sin
C
sin
A
cos
b
{\displaystyle \cos B=-\cos C\cos A+\sin C\sin A\cos b}
cos
C
=
−
cos
A
cos
B
+
sin
A
sin
B
cos
c
{\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c}
다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.
cot
a
sin
b
=
cot
A
sin
C
+
cos
b
cos
C
{\displaystyle \cot a\sin b=\cot A\sin C+\cos b\cos C}
cot
b
sin
a
=
cot
B
sin
C
+
cos
a
cos
C
{\displaystyle \cot b\sin a=\cot B\sin C+\cos a\cos C}
cot
b
sin
c
=
cot
B
sin
A
+
cos
c
cos
A
{\displaystyle \cot b\sin c=\cot B\sin A+\cos c\cos A}
cot
c
sin
b
=
cot
C
sin
A
+
cos
b
cos
A
{\displaystyle \cot c\sin b=\cot C\sin A+\cos b\cos A}
cot
c
sin
a
=
cot
C
sin
B
+
cos
a
cos
B
{\displaystyle \cot c\sin a=\cot C\sin B+\cos a\cos B}
cot
a
sin
c
=
cot
A
sin
B
+
cos
c
cos
B
{\displaystyle \cot a\sin c=\cot A\sin B+\cos c\cos B}
구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
sin
A
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
b
sin
c
{\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}}
cos
A
2
=
sin
s
sin
(
s
−
a
)
sin
b
sin
c
{\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}}
tan
A
2
=
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
s
sin
(
s
−
a
)
{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}}
sin
a
2
=
−
cos
S
cos
(
S
−
A
)
sin
B
sin
C
{\displaystyle \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {-{\frac {\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}}}
cos
a
2
=
cos
(
S
−
B
)
cos
(
S
−
C
)
sin
B
sin
C
{\displaystyle \cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}}
tan
a
2
=
−
cos
S
cos
(
S
−
A
)
cos
(
S
−
B
)
cos
(
S
−
C
)
{\displaystyle \tan {\frac {a}{2}}={\sqrt {-{\frac {\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}}}
여기서
2
S
=
A
+
B
+
C
{\displaystyle 2S=A+B+C}
이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
sin
A
=
2
sin
s
sin
(
s
−
a
)
sin
(
s
−
b
)
sin
(
s
−
c
)
sin
b
sin
c
=
1
−
cos
2
a
−
cos
2
b
−
cos
2
c
+
2
cos
a
cos
b
cos
c
sin
b
sin
c
{\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}}{\sin b\sin c}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin b\sin c}}}
sin
a
=
2
−
cos
S
cos
(
S
−
A
)
cos
(
S
−
B
)
cos
(
S
−
C
)
sin
B
sin
C
=
1
−
cos
2
A
−
cos
2
B
−
cos
2
C
−
2
cos
A
cos
B
cos
C
sin
B
sin
C
{\displaystyle \sin a={\frac {2{\sqrt {-\cos S\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}}{\sin B\sin C}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}A-\cos ^{2}B-\cos ^{2}C-2\cos A\cos B\cos C}}{\sin B\sin C}}}
다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식 (-同類式, 영어 : Napier's analogies )이라고 한다.
tan
A
+
B
2
=
cos
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
cot
C
2
{\displaystyle \tan {\frac {A+B}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}}
tan
A
−
B
2
=
sin
a
−
b
2
sin
a
+
b
2
cot
C
2
{\displaystyle \tan {\frac {A-B}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}}
tan
a
+
b
2
=
cos
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
tan
c
2
{\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}}
tan
a
−
b
2
=
sin
a
−
b
2
sin
a
+
b
2
tan
c
2
{\displaystyle \tan {\frac {a-b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a-b}{2}}}{\sin {\frac {a+b}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}}
다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식 (-同類式, 영어 : Delambre's analogies ) 또는 가우스 정리 (-定理, 영어 : Gauss's theorems )이라고 한다.
cos
A
+
B
2
cos
c
2
=
cos
a
+
b
2
sin
C
2
{\displaystyle \cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}}
cos
A
−
B
2
sin
c
2
=
sin
a
+
b
2
sin
C
2
{\displaystyle \cos {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}}
sin
A
+
B
2
cos
c
2
=
cos
a
−
b
2
cos
C
2
{\displaystyle \sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}
sin
A
−
B
2
sin
c
2
=
sin
a
−
b
2
cos
C
2
{\displaystyle \sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}=\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}
구면 다각형
A
1
A
2
⋯
A
n
{\displaystyle A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}
구과량 (球過量, 영어 : spherical excess ) 또는 구면 과잉 (球面過剩)은 다음과 같다.
E
=
∑
k
=
1
n
A
k
−
(
n
−
2
)
π
{\displaystyle E=\sum _{k=1}^{n}A_{k}-(n-2)\pi }
특히, 구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
E
=
A
+
B
+
C
−
π
{\displaystyle E=A+B+C-\pi }
구면 다각형
A
1
⋯
A
n
{\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}}
area
(
P
)
=
E
=
∑
k
=
1
n
A
k
−
(
n
−
2
)
π
{\displaystyle \operatorname {area} (P)=E=\sum _{k=1}^{n}A_{k}-(n-2)\pi }
특히, 구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
area
(
T
)
=
E
=
A
+
B
+
C
−
π
{\displaystyle \operatorname {area} (T)=E=A+B+C-\pi }
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다.
a
{\displaystyle a}
A
{\displaystyle A}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
B
{\displaystyle B}
구면 이각형 에서 구면 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
C
{\displaystyle C}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
{\displaystyle A}
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
대척점
−
A
,
−
B
,
−
C
{\displaystyle -A,-B,-C}
4
π
{\displaystyle 4\pi }
−
A
,
−
B
,
−
C
{\displaystyle -A,-B,-C}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
2
π
=
area
(
T
)
+
(
2
A
−
area
(
−
T
)
)
+
(
2
B
−
area
(
T
)
)
+
(
2
C
−
area
(
T
)
)
=
2
A
+
2
B
+
2
C
−
2
area
(
T
)
{\displaystyle {\begin{aligned}2\pi &=\operatorname {area} (T)+(2A-\operatorname {area} (-T))+(2B-\operatorname {area} (T))+(2C-\operatorname {area} (T))\\&=2A+2B+2C-2\operatorname {area} (T)\end{aligned}}}
다음 항등식은 시몽 륄리에 가 제시하였다.
tan
E
4
=
tan
s
2
tan
s
−
a
2
tan
s
−
b
2
tan
s
−
c
2
{\displaystyle \tan {\frac {E}{4}}={\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}}
여기서
2
s
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle 2s=a+b+c}
구면 삼각법은 천문학 , 측지학 및 항법 에서 계산에 매우 중요하다.
그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어 (John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레 (Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다.[ 2] 퍼블릭 도메인 인 구텐베르크 프로젝트 로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.
