무한 집합
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이 문서의 내용은 출처가 분명하지 않습니다. (2023년 1월) |
수학에서 무한 집합(無限集合, 영어: infinite set)은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 원소의 개수가 유한한 유한 집합이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 가산 무한 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다.
정의
[편집]엄밀한 정의로는 집합 의 적당한 진부분 집합 가 존재해, 와 사이의 일대일 대응이 존재하면 를 무한 집합이라 한다.
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 무한 집합이라고 한다.
- 는 두 개 이상의 원소를 가지며, 와 사이에 전단사 함수가 존재한다.
- 와 그 진부분 집합 사이에 전단사 함수가 존재한다.
- 단사 함수이지만 전사 함수가 아닌 함수 가 존재한다.
- 전사 함수이지만 단사 함수가 아닌 함수 가 존재한다.
- 단사 함수 가 존재한다.
- 전사 함수 이 존재한다.
만약 선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.
성질
[편집]임의의 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 는 무한 집합이다.
- 는 무한 집합이다.
- 멱집합 는 무한 집합이다.
무한 공리를 제외한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 무한 공리의 존재를 보이려면 무한 공리가 필요하다.
예
[편집]자연수의 집합 · 정수의 집합 · 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다. 실수의 집합 · 복소수의 집합은 비가산 집합이다.
분류
[편집]- 무한 집합
- 가산 무한 집합
- 자연수의 집합
- 정수의 집합
- 유리수의 집합
- 비가산 무한 집합
- 실수의 집합
- 복소수의 집합
- 가산 무한 집합
같이 보기
[편집]외부 링크
[편집]- Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Infinite set”. 《nLab》 (영어).
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