미적분학 에서 선적분 (線積分, 영어 : line integral )과 직선 위의 정적분 을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 두 종류의 선적분이 존재하며, 하나는 스칼라 장 , 하나는 벡터 장 에 대한 것이다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량 을 구하는 문제와 같으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 역장 이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일 을 구하는 문제와 같다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은 (스칼라 장을 이루는) 접성분 의 선적분과 같다.
곡선 위에 정의된 함수의 선적분은 리만 합 을 사용하여 정의하거나, 곡선을 매개화 한 뒤 정적분을 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우, 선적분은 곡선의 재매개화 아래 불변이다.
스칼라 장의 선적분 스칼라 장
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
곡선
γ
→
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
선적분 은 다음과 같다.
∫
γ
→
(
[
a
,
b
]
)
f
d
s
=
∫
a
b
f
(
γ
→
(
t
)
)
‖
γ
→
′
(
t
)
‖
d
t
{\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}fds=\int _{a}^{b}f({\vec {\gamma }}(t))\Vert {\vec {\gamma }}'(t)\Vert dt}
특히, 곡선
γ
→
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\vec {\gamma }}([a,b])}
길이
∫
γ
→
(
[
a
,
b
]
)
d
s
=
∫
a
b
‖
γ
→
′
(
t
)
‖
d
t
{\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}ds=\int _{a}^{b}\Vert {\vec {\gamma }}'(t)\Vert dt}
벡터 장의 선적분 벡터 장
F
→
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
γ
→
:
[
a
,
b
]
→
R
n
{\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}
선적분 은 다음과 같다.
∫
γ
→
(
[
a
,
b
]
)
F
→
⋅
d
γ
→
=
∫
γ
→
(
[
a
,
b
]
)
F
→
⋅
γ
→
′
(
t
)
‖
γ
→
(
t
)
‖
d
s
=
∫
a
b
F
→
(
γ
→
(
t
)
)
⋅
γ
→
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}{\vec {F}}\cdot d{\vec {\gamma }}=\int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}{\vec {F}}\cdot {\frac {{\vec {\gamma }}'(t)}{\Vert {\vec {\gamma }}(t)\Vert }}ds=\int _{a}^{b}{\vec {F}}({\vec {\gamma }}(t))\cdot {\vec {\gamma }}'(t)dt}
함수
f
:
C
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
γ
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }
선적분 은 다음과 같다.
∫
γ
(
[
a
,
b
]
)
f
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{\gamma ([a,b])}fdz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt}
f
(
z
)
{\displaystyle f\left(z\right)}
해석적 이라 하자. 그러면 영역 D내에
f
(
z
)
{\displaystyle f\left(z\right)}
부정적분 , 즉, D내에
F
′
(
z
)
=
f
(
z
)
{\displaystyle F'\left(z\right)=f\left(z\right)}
F
(
z
)
{\displaystyle F\left(z\right)}
z
0
{\displaystyle z_{0}}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
∫
z
0
z
1
f
(
z
)
d
z
=
F
(
z
1
)
−
F
(
z
0
)
{\displaystyle \int _{z_{0}}^{z_{1}}{f\left(z\right)dz=F\left(z_{1}\right)-F\left(z_{0}\right)}}
가 성립한다.
이 방법은 해석함수에만 제한되지 않고 모든 연속인 복소함수 에 적용된다.
a
≤
t
≤
b
{\displaystyle a\leq t\leq b}
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle z=z\left(t\right)}
C
{\displaystyle C}
f
(
z
)
{\displaystyle f\left(z\right)}
C
{\displaystyle C}
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
[
z
(
t
)
]
z
˙
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{C}^{}{f\left(z\right)}dz=\int _{a}^{b}{f\left[z\left(t\right)\right]}{\dot {z}}\left(t\right)dt}
(
z
˙
=
d
z
d
t
)
{\displaystyle \left({\dot {z}}={\frac {dz}{dt}}\right)}
이다.
어떤 끈의 밀도 를 그 끈을 따라 선적분하면, 끈의 질량 을 얻는다.
역장 을 물체의 운동 경로를 따라 선적분하면, 힘이 물체에 한 일 을 얻는다. 힘이 한 일이 출발점과 도착점의 위치에만 의존하고 경로와 무관하다면, 그 힘을 보존력 이라고 한다. 보존력장의 '원함수'를 그 힘에 의한 위치 에너지 라고 한다.
![{\displaystyle {\vec {\gamma }}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7363d9bc53f145f7e19c38a2a05c1ce72ee5c4e)
![{\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}fds=\int _{a}^{b}f({\vec {\gamma }}(t))\Vert {\vec {\gamma }}'(t)\Vert dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3e7bc659c358164a5277098c8b38843af8c40a)
![{\displaystyle {\vec {\gamma }}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb95a9129e8c843c3ffe9e9745f21345048e30b)
![{\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}ds=\int _{a}^{b}\Vert {\vec {\gamma }}'(t)\Vert dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bfba6ca58ac6150258c0b9b58f4133ac2e90eb)
![{\displaystyle \int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}{\vec {F}}\cdot d{\vec {\gamma }}=\int _{{\vec {\gamma }}([a,b])}{\vec {F}}\cdot {\frac {{\vec {\gamma }}'(t)}{\Vert {\vec {\gamma }}(t)\Vert }}ds=\int _{a}^{b}{\vec {F}}({\vec {\gamma }}(t))\cdot {\vec {\gamma }}'(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4c3a9dedf08bf87932d68f4b2a1b54d92a39d8)
이 부분의 본문은 경로적분법입니다.
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e085dcf244196598d1b9b015bdbfbe624800679)
![{\displaystyle \int _{\gamma ([a,b])}fdz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4bf58b7debc3fec9943e77f2096b67f50d8fa8)
![{\displaystyle \int _{C}^{}{f\left(z\right)}dz=\int _{a}^{b}{f\left[z\left(t\right)\right]}{\dot {z}}\left(t\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda55597103254060d22547e9c8d51733daf81fa)
