군론 에서 정규 부분군 (正規部分群, 영어 : normal subgroup )은 내부자기동형사상 에 대해 불변인 부분군 을 말한다. 정규 부분군에 대하여 몫군 을 취할 수 있다.
군
G
{\displaystyle G}
의 부분군
N
≤
G
{\displaystyle N\leq G}
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 부분군을
G
{\displaystyle G}
의 정규 부분군 이라고 한다.
임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여,
g
N
g
−
1
⊆
N
{\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}
임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여,
g
N
g
−
1
=
N
{\displaystyle gNg^{-1}=N}
. 즉, 내부자기동형사상 에 대하여 불변이다.
임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여,
g
N
=
N
g
{\displaystyle gN=Ng}
. 즉, 좌잉여류 와 우잉여류 가 일치한다.
ker
ϕ
=
N
{\displaystyle \ker \phi =N}
인 군 준동형
ϕ
:
G
→
H
{\displaystyle \phi \colon G\to H}
가 존재한다.
정규화 부분군 이
G
{\displaystyle G}
전체이다. 즉,
N
G
(
N
)
=
G
{\displaystyle \operatorname {N} _{G}(N)=G}
이다.
정규핵 이 자기 자신이다. 즉,
Core
G
(
N
)
=
N
{\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(N)=N}
이다.
N
{\displaystyle N}
이
G
{\displaystyle G}
의 정규 부분군임을 다음과 같이 표기한다.
N
⊲
G
{\displaystyle N\vartriangleleft G}
군
G
{\displaystyle G}
의 부분군
N
≤
G
{\displaystyle N\leq G}
이 정규 부분군이 될 충분 조건은 다음이 있다.
G
{\displaystyle G}
는 아벨 군 이다.
N
{\displaystyle N}
은
G
{\displaystyle G}
의 중심 이다.
N
{\displaystyle N}
은 자명군 이다.
N
=
G
{\displaystyle N=G}
이다.
G
{\displaystyle G}
는 유한군 이며,
N
{\displaystyle N}
의 지표
|
G
|
/
|
N
|
{\displaystyle |G|/|N|}
는
|
G
|
{\displaystyle |G|}
의 가장 작은 소인수이다.
G
{\displaystyle G}
는 유한군 이며,
N
{\displaystyle N}
의 지표
|
G
|
/
|
N
|
{\displaystyle |G|/|N|}
는 2이다.
N
{\displaystyle N}
은
G
{\displaystyle G}
의 특성 부분군 이다.
증명 (지표가 최소 소인수 ⇒ 정규 부분군):
군
G
{\displaystyle G}
의 정규 부분군
N
⊲
G
{\displaystyle N\vartriangleleft G}
가 주어졌다면, 몫군
G
/
N
{\displaystyle G/N}
에서
N
{\displaystyle N}
의 외부자기동형군
Out
N
{\displaystyle \operatorname {Out} N}
로 가는 자연스러운 군 준동형 이 존재한다.
G
/
N
→
Out
N
=
Aut
N
/
Inn
N
{\displaystyle G/N\to \operatorname {Out} N=\operatorname {Aut} N/\operatorname {Inn} N}
이는 다음과 같은 가환 그림에 의하여 정의된다. 여기서 길이가 5인 행 및 열은 짧은 완전열 이다.
1
1
1
↓
↓
↓
1
→
Z
(
N
)
↪
C
G
(
N
)
↠
C
G
(
N
)
/
Z
(
N
)
→
1
↓
↓
↓
1
→
N
↪
G
↠
G
/
N
→
1
↓
↓
↓
1
→
Inn
N
↪
Aut
N
↠
Out
N
→
1
↓
↓
↓
1
1
1
{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Z} (N)&\hookrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)&\twoheadrightarrow &\operatorname {C} _{G}(N)/\operatorname {Z} (N)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &N&\hookrightarrow &G&\twoheadrightarrow &G/N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Inn} N&\hookrightarrow &\operatorname {Aut} N&\twoheadrightarrow &\operatorname {Out} N&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}
여기서 준동형
G
→
Aut
N
{\displaystyle G\to \operatorname {Aut} N}
은
g
↦
(
n
↦
g
n
g
−
1
)
{\displaystyle g\mapsto (n\mapsto gng^{-1})}
이며,
N
→
Inn
N
{\displaystyle N\to \operatorname {Inn} N}
은
n
↦
(
m
↦
n
m
n
−
1
)
{\displaystyle n\mapsto (m\mapsto nmn^{-1})}
이다.
특히,
N
{\displaystyle N}
이 아벨 정규 부분군일 경우,
Inn
N
{\displaystyle \operatorname {Inn} N}
이 자명군 이며
Out
N
≅
Inn
N
{\displaystyle \operatorname {Out} N\cong \operatorname {Inn} N}
이므로, 다음과 같은 자연스러운 군 준동형 을 얻는다.
G
/
N
→
Aut
N
{\displaystyle G/N\to \operatorname {Aut} N}
g
N
↦
(
n
↦
g
n
g
−
1
)
{\displaystyle gN\mapsto (n\mapsto gng^{-1})}
유클리드 군
IO
(
n
)
=
R
n
⋊
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)}
은 평행 이동의 군
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
을 정규 부분군으로 갖는다. 반면, 회전군
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
은 부분군이지만 정규 부분군이 아니다.
정규 부분군의 중요성을 처음으로 인식한 사람은 에바리스트 갈루아 였다.