수학 에서 칸토어 집합 (영어 : Cantor set )은 0과 1 사이의 실수 로 이루어진 집합 으로,
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
구간 을 3등분하여 가운데 구간을 반복적으로 제외하는 방식으로 만들어진다.
칸토어 집합을 제작하기 위해 7번 반복한 과정 칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.
처음 구간은
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
(
1
3
,
2
3
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}
[
0
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
1
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}
두 구간
[
0
,
1
3
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]}
[
2
3
,
1
]
{\displaystyle \left[{\frac {2}{3}},1\right]}
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
9
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
7
9
]
∪
[
8
9
,
1
]
{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}
계속해서 반복한다. 또는, 앞 단계의 구간을
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
C
0
=
[
0
,
1
]
C
n
=
C
n
−
1
3
∪
(
2
3
+
C
n
−
1
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=[0,1]\\C_{n}&={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)\end{aligned}}}
이 된다.
칸토어 집합에 포함되는 수는 삼진법 소수 로 표기했을 때 모든 자릿수가 0 또는 2가 된다. 이것은 칸토어 집합을 만드는 각 단계마다 자릿수에 1이 있는 수를 점차적으로 제거하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 첫 번째 단계에는
0.1
x
x
x
⋯
(
3
)
{\displaystyle 0.1xxx\cdots _{(3)}}
0.01
x
x
x
⋯
(
3
)
{\displaystyle 0.01xxx\cdots _{(3)}}
0.21
x
x
x
⋯
(
3
)
{\displaystyle 0.21xxx\cdots _{(3)}}
일대일 대응 시킬 수 있는데, 3진수 각 자릿수의 2를 2진수에서의 1로 대응한다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
f
(
∑
k
=
1
∞
a
k
3
−
k
)
=
∑
k
=
1
∞
(
a
k
/
2
)
2
−
k
{\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}3^{-k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}/2)2^{-k}}
따라서 칸토어 집합은 비가산 집합 이며, 크기가
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
칸토어 집합을 만드는 과정에서, 각 단계에서 빠지는 구간의 길이는
1
/
3
,
2
/
9
,
4
/
27
,
…
{\displaystyle 1/3,2/9,4/27,\dots }
∑
n
=
0
∞
2
n
3
n
+
1
=
1
3
(
1
1
−
2
3
)
=
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1}
이 된다. 즉, 칸토어 집합은 르베그 측도 가 0이다. 또한, 칸토어 집합은 조밀한 곳이 없는 집합 이며, 완전 집합 이다.
칸토어 집합은 가산 무한 개의 두 원소 이산 공간 의 곱공간
{
0
,
1
}
ℵ
0
{\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}}
위상동형 이다. 특히, 칸토어 집합의 작은 귀납적 차원 은 0이다.
칸토어 집합은 자기닮음 성질을 가지고 있는 프랙털 이다. 칸토어 집합을 ⅓ 크기로 줄이면 원래 칸토어 집합의 왼쪽 부분과 같다. 따라서 칸토어 집합의 하우스도르프 차원 은
ln
2
ln
3
=
0.6309
⋯
{\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}=0.6309\cdots }
이다.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6c7cee73b41045dc098a5c21eb838c0571b005)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1321df87c02f4614d4857c55e88a1ad5de9f3a51)
![{\displaystyle \left[{\frac {2}{3}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ca998a2adebc8347db8b57c2549850d225bc76)
![{\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8007f97b134ff16f892b0b7f9b944121adc285f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=[0,1]\\C_{n}&={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a2f2b1dd0ac68c168a110d1ae6c097d5878a53)
