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하르톡스 수

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집합론에서 하르톡스 수(Hartogs數, 영어: Hartogs number)는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.[1]:63

정의

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집합 하르톡스 수 의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다. 즉, 단사 함수 가 존재하지 않는 최소순서수 이다.

하르톡스 정리(Hartogs定理, 영어: Hartogs’ theorem)에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 선택 공리를 사용하지 않고, 체르멜로-프렝켈 집합론에서 증명할 수 있다.

증명:

임의의 집합 가 주어졌을 때, 의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임

를 생각하자. 이므로 이 모임은 집합이다. 순서수 의 크기가 이하일 필요충분조건은 어떤 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임

역시 집합이다. 이제, 의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.

  • 는 순서수
    • 이므로, 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약 이며 라면, 단사 함수 가 존재하는데, 이를 로 제한하면 단사 함수 를 얻는다. 따라서 이다.
    • 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,) 이다. 즉, 일 수 없다.
  • 의 최소성
    • 의 정의에 따라, 보다 작은 순서수들의 크기는 이하이다. 즉, 의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.

성질

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하르톡스 수는 기수이다.[1]:63 즉, 임의의 순서수 에 대하여, 크기는 서로 다르다.

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자연수 에 대하여, 이다.[1]:63

역사

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독일의 수학자 프리드리히 하르톡스가 증명하였다.

같이 보기

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각주

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  1. 최창선 (2006). 《수학, 철학, 전산학, 언어학도를 위한 집합론 입문》. 경문사. ISBN 89-7282-777-0. 2014년 11월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 5일에 확인함. 

외부 링크

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