Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala .
Intal càlcül tensuriaal , s'al definiss ul símbul da Levi-Civita , apó numenaa símbul da permütazziun , in la furma segueent:
ϵ
i
j
k
=
{
+
1
si
(
i
,
j
,
k
)
=
(
1
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)
,
(
3
,
1
,
2
)
−
1
si
(
i
,
j
,
k
)
=
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
,
(
2
,
1
,
3
)
0
si
i
=
j
u
j
=
k
u
k
=
i
{\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\textrm {si}}\ (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&{\textrm {si}}\ (i,j,k)=(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3)\\0&{\textrm {si}}\ i=j\ {\textrm {u}}\ j=k\ {\textrm {u}}\ k=i\end{matrix}}\right.}
Al cata ul sò nomm dal Tullio Levi-Civita e s'al dövra in matemàtica e física : par esempi, in àlgebra lineara , ul prudüit veturiaal da düü vetuur s'al pöö scriif cuma:
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
e
i
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}}
u, plüü simplameent:
a
×
b
=
c
,
c
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
=
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}=\epsilon _{ijk}a^{j}b^{k}}
intúe, in la darera identitaa, a emm druvaa la nutazziun da Einstein , cunsisteent a umett ul seegn da sumatòria paj índes repetüü. Ul tensuur i cumpuneent dal quaal i è daa dal símbul da Levi-Civita s'al nòmena a vöölt tensur da permütazziun (Al cuventa nutá, però, ch'al seguiss i regul da trasfurmazziun tensuriala da curdenaat noma par cambiameent da curdenaat cunt urientazziun pusitiva: oltrameent al pariss un seegn 'maanch').
Ul símbul da Levi-Civita s'al pöö generalizá a dimensiun plüü òolt:
ϵ
i
j
k
l
…
=
{
+
1
si
(
i
,
j
,
k
,
l
,
…
)
perm.
parella
de
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
−
1
si
(
i
,
j
,
k
,
l
,
…
)
perm.
senar
de
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
0
si
dos
indexs
igual
{\displaystyle \epsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\textrm {si}}\ (i,j,k,l,\dots )\ {\textrm {perm.}}\ {\textrm {parella}}\ {\textrm {de}}\ (1,2,3,4,\dots )\\-1&{\textrm {si}}\ (i,j,k,l,\dots )\ {\textrm {perm.}}\ {\textrm {senar}}\ {\textrm {de}}\ (1,2,3,4,\dots )\\0&{\textrm {si}}\ {\textrm {dos}}\ {\textrm {indexs}}\ {\textrm {igual}}\ \end{matrix}}\right.}
