Argumentas (logika)

Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus. Jei galite, sutvarkykite.

Argumentas logikoje ir filosofijoje – tvirtinimų serija, siekiant įtikinti kažką kažkuo ar pagrįsti išvados priėmimo priežastis. "Bendra forma "argumento" kalba yra tokios prielaidos (paprasti pasiūlymai, pareiškimai ar sakinių formą) palaikant reikalavimą: išvada. Kai kurių argumentų struktūra gali taip pat būti išdėstyta oficialia kalba, ir formaliai apibrėžti "argumentai" gali būti padaryti nepriklausomai nuo natūralios argumentų kalbos, kaip matematikoje, logikoje ir informatikoje.

Tipiškame dedukciniame argumente, daroma prielaida jog tiesa, suteikia garantijos pateikti išvadas, o indukciniame argumente yra manoma, kad jie suteikia priežastis remtis išvadomis tikėtinos tiesos. Įvertinimų standartai nededukciniuose argumentuose gali remtis skirtingais ar papildomais kriterijais negu tiesa, pavyzdžiui, įtikinamumas vadinamas "būtinais reikalavimais" nepaprastuose argumentuose, hipotezių kokybė reproduktuojasi, atskleidime naujų galimybių mąstymui ir vaidybai.

Standartai ir kriterijai, panaudoti vertinant argumentus ir jų samprotavimo formos, yra studijuojami logikoje. Būdai suformuluoti argumentus efektyviai studijuojami retorikoje (žr. taip pat: argumentacijos teorija). Argumentas oficialia kalba rodo logišką formą simboliškai atstovautos ar natūralios argumentų kalbos, gautų jos interpretacijų.

Formalus ir neformalus

Neformalūs argumentai studijuojami neformalioje logikoje, ir nagrinėja kaip reikia pristatyti įprastoje kalboje ir numatyti kasdieniam pranešimui. Priešingai, formalūs argumentai studijuojami formalioje logikoje (istoriškai pavadinta simbolinė logika, paprasčiau vadinta kaip matematinė logika šiuolaikiniame gyvenime), ir išreikšti formalia kalba. Sakoma, kad neformali logika pabrėžia argumentacijos studijavimą, tuo tarpu formali logika pabrėžia reikšmę ir išvadą. Neformalūs argumentai yra kartais numanomi. Racionali struktūra -santykis tarp reikalavimų, prielaidų, garantijų, ryšių reikšmės, ir išvadų –yra ne visada išaiškinama, iškart matoma ir turi kartais būti daroma aiški analizė.

Standartiniai tipai

Logikoje yra kelios rūšys argumentų, iš kurių žinomiausias yra "dedukciniai" ir "induktyvūs." Dedukciniai argumentai kartais vadina "tiesą saugančiais" argumentais, todėl tiesos išvados duoda šitas prielaidas. Dedukcinis argumentas tvirtina, kad tiesos išvada yra logiška prielaidų reikšmė. Induktyvus argumentas, iš kitos pusės, tvirtina, kad išvados tiesa yra kitaip palaikyta prielaidomis. Kiekviena prielaida ir išvada yra tiesos nėšeja ar "tiesos kandidatai", gali būti arba teisingais arba neteisingais (bet ne abu). Tuo metu, kai tvirtinimai argumentuose remiasi teisingu ar neteisingu, argumentai gali būti galiojantis ar negaliojantis (žr. logišką tiesą). Dedukcinis argumentas yra galiojantis, jeigu išvados tiesa sukelia (yra logiška pasekmė) prielaidomis, atitinkamos sąlygos tai yra logiška tiesa. Garsinis argumentas yra galiojantis argumentas su teisingomis prielaidomis; galiojantis argumentas gali turėti neteisingas prielaidas po duotų interpretacijų, tačiau, išvados tiesos vertė negali būti nustatyta nepagrįsto argumento.

Dedukcinis

Jeigu Dedukcinis argumentas - galiojantis, darome išvadą, kad jos keliamos prielaidoms. Kitaip tariant, išvados tiesa yra logiška prielaidos pasekmė – jeigu prielaidos yra teisingos, tai išvada turi būti teisinga. Tai būtų saviprieštaraujantis prielaidos, kurios gali patvirtinti ir paneigtų išvadą, todėl, išvados paneigimas yra prieštaraujantis prielaidos tiesai.

Svarumas

Dedukciniai argumentai gali būti ar galiojantys ar negaliojantys. Jei argumentas yra galiojantis, tai yra galiojantis išvada, ir jei jo prielaidos yra teisingos, išvada turi būti teisinga: galiojantis argumentas negali turėti teisingų prielaidų ir neteisingų išvadų.

Jeigu argumentas yra formaliai galiojantis, jo išvados paneigimas yra nesuderinamas su visų prielaidų priėmimu.

Svarumas priklauso nuo argumento galiojimo, tačiau, ne ant realios tiesos ar klaidingų prielaidų ir išvadų, bet tiktai ant to, ar tikrai argumentas turi galiojančią logišką formą. Argumento galiojimas nėra jos išvados garantija. Po duota interpretacija, galiojantis argumentas gali turėti neteisingas prielaidas, kurios verčia jas į negalutinius: galiojančio argumento išvada gali būti su vienu arba klaidingomis prielaidomis ir gali būti ar teisinga ar neteisinga.

Logika siekia atrasti galiojančias formas. Formos, kurios daro argumentus galiojančius. Argumento forma yra galiojanti, tik tada kai išvada yra teisinga su visomis interpretacijomis to argumento, kuriame prielaidos yra teisingos. Kadangi argumento galiojimas priklauso nuo jo formos, gali būti parodoma, kad argumentas yra negaliojantis ir jo forma automatiškai yra negaliojanti. Tai gali būti padaroma, duodant priešingą pavyzdį tos pačios formos argumento su prielaidomis, kurios yra teisingos su duota interpretacija, bet išvada, kuri yra neteisinga su kita interpretacija. Neformalioje logikoje tai vadinama priešingu argumentu.

Argumento formą galima parodyti vartojant simbolius. Kiekvienai argumento formai, yra atitinkama tvirtinimo forma, pavadinta atitinkamu sąlygos sakiniu, ir argumento forma yra galiojanti, tiktai tada, jei jos atitinkamos sąlygos sakinys yra logiška tiesa. Taip pat sakoma, kad tvirtinimo forma, kuri yra logiškai teisinga yra galiojanti tvirtinimo forma. Tvirtinimo forma yra logiška tiesa, jei tai teisinga su visomis interpretacijomis. Gali būti parodoma, kad tvirtinimo forma yra logiška tiesa ar prie (a), rodydama, kad tai yra tautologija ar (b) su įrodymo procedūra.

Atitinkamas galiojančio argumento sąlygos sakinys yra būtina tiesa (teisingas visuose galimuose pasauliuose) ir tokiu būdu išvada būtinai išplaukia iš prielaidų ar logiškos būtinybės. Galiojančio argumento išvada yra ne būtinai teisinga, ji priklauso nuo to, ar prielaidos yra teisingos. Jei išvada suprantama savajame, tada yra būtina tiesa, taip yra todėl kad neatsižvelgiama į prielaidas.

Pavyzdžiui:

• Kai kurie graikai yra logikai; todėl, kai kurie logikai yra graikai. Galiojantis argumentas; tai būtų saviprieštaraujantis, pripažinimas, kad kai kurie graikai yra logikai, bet paneigia, kad kai kurie (bet kokie) logikai yra graikai.
• Visi graikai yra žmonės, ir visi žmonės yra mirtingi; todėl, visi graikai yra mirtingi. Galiojantis argumentas; jei prielaidos yra teisingos, išvada turi būti teisinga.
• Kai kurie graikai yra logikai, ir kai kurie logikai yra nuobodūs; todėl, kai kurie graikai yra nuobodūs. Negaliojantis argumentas: nuobodūs logikai galėtų būti visi romėnai (pavyzdžiui).
• Ar mes esame visi lemti, ar mes esame visi išgelbėti; mes nesame visi išgelbėti; todėl, mes esame visi lemti. Galiojantis argumentas; prielaidos sukelia išvadą. (Atsiminkite, kad tai nereiškia, kad išvada turi būti teisinga; ir tik teisinga, jei prielaidos yra teisingos, kuriuo jie gali neegzistuoti!)
• Kai kurie vyrai yra prekybos agentai. Kai kurie prekybos agentai yra turtingi. Todėl, kai kurie vyrai yra turtingi. Negaliojantis argumentas, kas gali būti lengviau, duodant prieštaraujantį pavyzdį su ta pačia argumento forma:
• Kai kurie žmonės yra žolėdžiai. Kai kurie žolėdžiai yra zebrai. Todėl, kai kurie žmonės yra zebrai. Galiojantis argumentas; čia atsimindamas, kad tik prielaidos turi būti teisingos, o ne išvada.

Anksčiau minėtą atvejį (Kai kurie vyrai yra prekybos agentai...), prieštaraujantis pavyzdys laikoma tą pačią logišką formą kaip ankstesnis argumentas, (Prielaida 1: "apytiksliai X yra Y." Prielaida 2: "Kai kurie Y yra Z." Išvada: "apytiksliai X yra Z."), tam kad parodyti, kokie prekybos agentai gali būti, ar jie gali ar negali būti turtingais, atsižvelgiant į prielaidas (Žr. taip pat, egzistencinis importas).

Argumento formos, kurios teikia galiojančius išvadas yra gerai nustatytos, tačiau kai kurie negaliojantys argumentai gali taip pat būti įtikinami, priklausomai nuo savo konstrukcijos (induktyvūs argumentai, pavyzdžiui). (Žr. taip pat, oficialus klaidinga argumentacija ir neoficialus klaidinga argumentacija).

Pagrįstumas

Pagrįstas argumentas yra galiojantis argumentas, kurio išvada išplaukia iš savo prielaidos (ų), ir kurio prielaida (os) yra teisinga (os).

Indukcinis

Anti-dedukcinė logika pagrindžiama, naudojant argumentus, kuriuose prielaidos palaiko išvadą, bet nesukelia jos. Anti-dedukcinės logikos formos apima statistinį silogizmą, kuris ginčijasi nuo apibendrinimų, daugiausiai teisingų, ir indukcija, samprotavimo forma, kurios pagalba daroma apibendrinimus pagrįstus atskirais pavyzdžiais. Pasakoma, kad induktyvus argumentas yra įtikinantis, tik tada, jei argumento prielaidų tiesa paverčia tiesą į išvadas (t. y., argumentas yra stiprus), ir argumento prielaidos yra, iš tikrųjų, teisingos. Įtikimumą galima laikyti induktyvios logikos analogu, dedukcinės logikos "tvirtumui". Nepaisant jos vardo, matematinė indukcija nėra induktyvaus samprotavimo forma. Dedukcinio galiojimo trūkumas yra žinomas kaip indukcijos problema.

Paneigimas

Argumentas yra panaikinamas, kai papildoma informacija (tokia kaip naujos kontrpriežastys) gali turėti įrodymus, kad tai daugiau nepateisina savo išvados. Trukmė "paneigimas" nueina teisėtam teoretikui H.L.A. Hart, nors jis akcentuoja sąvokomis vietoj argumentų. Stephen' o Toulmin' o įtakingo argumento modelis apima galimybę kontrpriežasčių, kurios yra būdingos panaikinamiems argumentams, bet jis neaptarė paneigimų argumentų įvertinimo. Panaikinami argumentai sukelia samprotavimo paneigimą.

Analogija

Argumentą pagal analogiją galima suprasti kaip argumentas iš tam tikros detalės į tam tikrą detalę. Argumentas pagal analogiją gali panaudoti tam tikrą tiesą prielaidoje, kurią panaudoja ginčuose, į panašią tam tikrą tiesą išvadoje. Pavyzdžiui, jeigu A. Platonas buvo mirtingas, ir B. Sokratas buvo panašus į Platono kitoje pagarboje, tai tvirtinimas, kad C. Sokratas buvo mirtingas ir tai yra pavyzdys: argumento pagal analogiją, todėl samprotavimas kuri panaudojo prieš tai, kyla iš tam tikros tiesos prielaidoje (Platonas buvo mirtingas) į panašią tam tikrą tiesą išvadoje, būtent kad Sokratas buvo mirtingas.

Pereinamasis

Epistemologijoje, pereinamieji argumentai bando parodyti, kad tam tikras paaiškinimas yra geresnis negu kitas todėl, galima suprasti perėjimą nuo seno į naują. Tai yra, jei paaiškinimas b gali sudaryti problemas, kurios egzistavo su paaiškinimu a, bet ne atvirkščiai, tada b vertinamas protingesniu paaiškinimu. Bendras pavyzdys mokslo istorijoje yra perėjimas nuo iki Galilėjietiško į Galilėjos fizinio judėjimo susitarimus.

Kitos rūšys

Piramidė vaizduojanti "nesutarimų hierarchiją" pagal Paul Graham.

Kitos argumentų rūšys gali turėti skirtingus ar papildomus galiojimo standartus ar teisinamumus. Pavyzdžiui, Charles Taylor rašo, kad vadinamieji nepaprasti argumentai yra sudaryti iš "būtinų reikalavimų grandinės", kurios bando parodyti, kodėl kažkas yra būtinai teisinga pagrįstas jo ryšiu su mūsų patirtimi, tuo metu, kai Nikolas Kompridis manė, kad yra du "klystančių" argumentų tipai: vienas pagrįstas tiesos reikalavimais, ir kitas pagrįstas atsiliepiančiu laiku galimybės atskleidimu (žr. pasaulinį atskleidimą). Vėliau sakoma, kad miręs Prancūzijos filosofas Michel Foucault buvo žinomas šios paskutinės filosofinio argumento formos gynėjas.

Neformalioje logikoje

Argumentas yra neoficialus skaičiavimas, siejamas pastangas, kurios bus įvykdytos ar suma, kuri bus išleista, į galimą būsimą naudą, ar ekonominę ar moralinę. Neoficialioje logikoje, argumentas yra ryšys tarp:

1. atskiras veiksmas
2. per kurį yra gauta bendrai priimta nauda.

Pavyzdžiui :

1. 1. Jūs turbūt vesti Jane (atskiras veiksmas, atskiras sprendimas)
   2. todėl, kad ji turi tą patį charakterį kaip jūs. (apskritai priimta išmintis, kad santuoka yra gera savyje savarankiškai, ir apskritai sutinkama, kad žmonės su tuo pačiu charakteriu sekasi gerai).
2. 1. Jūs neturite rūkyti (atskiras veiksmas, atskiras sprendimas)
   2. todėl, kad rūkymas yra žalingas (apskritai priimta išmintis, kad sveikata yra gera).

Argumentas nėra nei a) patarimas, nei b) moralinis ar ekonomiškas sprendimas, bet ryšys tarp dviejų. Argumentas visada naudoja jungiamąjį žodį todėl. Argumentas nėra paaiškinimas. Tai nejungia dviejų įvykių, priežasties ir padarinio, kuris jau įvyko, bet galimas atskiras veiksmas ir jo naudingas rezultatas. Argumentas nėra įrodymas. Įrodymas yra logiška ir pažintinė sąvoka; argumentas yra prakseologiška sąvoka. Įrodymas keičia mūsų žinias; argumentas verčia mus veikti.

Loginis statusas

Argumentas nepriklauso logikai, todėl, tai prijungiama prie asmens, tikro atvejo, ir tikrų pastangų, kurios bus padarytos.

1. Jei jūs, Jonai, nupirksite šią akciją, tai taps dukart vertingesnė po metų.
2. Jei jūs, Marija, mokysitės šokti, jūs tapsite garsia baleto šokėja.

Argumento vertė yra prijungiama prie asmens neatidėliotinų aplinkybių, kuriam kalbama. Jei, pirmu atveju,(1) Jonas neturės jokių pinigų, ar mirs kitais metais, jis nesidomės akcijos pirkimu. Jei, antru atveju(2) jai bus per sunku, ar ji bus per sena, ji nesidomės šokiais ir netaps baleriną. Argumentas nėra logiškas, bet naudingas.

Pasaulio atskleidimas

Pasaulį atskleidžiantys argumentai yra grupė filosofinių argumentų, kurie, kaip sakoma, naudoja atskleidžiantį metodą, atskleidžia ypatybes platesnio ontologinio ar kultūrinio kalbinio supratimo – "pasaulį", specialiai ontologine prasme – kad paaiškintų ar paversti foną reikšmės ir "logiškos erdvės", nuo kurios argumentas netiesiogiai priklauso.

Paaiškinimas

Tuo metu, kai argumentai rodo, kad kažkas buvo, yra, bus, ar turi būti, paaiškinimas bando parodyti, kodėl ar kaip kažkas yra ar bus. Jei Redas ir Jonas atkreipia į svarstomą problemą dėmesį, ar tikrai Redo katė turi blusas, Jonas gali išdėstyti: "Redai, jūsų katė turi blusų. Žiūrėkite, katė kasosi šiuo momentu." Jonas pateikė argumentą, kad katė turi blusų. Tačiau, jei Jonas klausia Redo, "Kodėl jūsų katė kasosi?" atsakymas, "... todėl, kad turi blusų." suteikia paaiškinimą.

Ir anksčiau minėtas argumentas, ir paaiškinimas reikalingas bendram supratimui, kad a) blusos dažnai sukelia niežėjimą, ir b), dėl ko kažkas dažnai kasosi, kad palengvintų niežėjimą. Skirtumas yra ketinime: argumentas bando sureguliuoti, ar tikrai kažkoks reikalavimas yra teisingas, ir paaiškinimas bando suteikti paaiškinimą to atveju. Atkreipkite dėmesį, kad, priskirdami specifinį atvejį prie grupės (Redas kasančios katės) kaip pavyzdys bendros taisyklės, kad "gyvūnai kaso save, kai jie turi blusas", Jonas daugiau nenorės žinoti, kodėl Redo katė kaso save. Argumentai atkreipia dėmesį į problemos tikėjimą, o paaiškinimas atkreipia į supratimo problemos dėmesį. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad virš argumento yra tvirtinimas, "Redo katė turi blusas" yra viršuje debatams (t. y. reikalavimas), bet paaiškinime - tvirtinimas, "Redo katė turi blusas", kaip manoma, yra teisingas (neabejotinas šiuo laiku) ir tik reikalauja pasiaiškinimo.

Argumentai ir paaiškinimas didžia dalimi primena vienas kitą retoriniame naudojime. Tai yra priežastis keliančia daug sunkumo kritiškame mąstyme apie reikalavimus. Yra kelios šio sunkumo priežastys.

• Žmonės dažnai nėra aiškūs to atveju, kada jie bando pateikia argumentus ar aiškina kažką.
• Tų pačių žodžių ir frazių tipai yra panaudoti pateikime paaiškinime ir argumentuose.
• Terminai 'aiškina' ar 'paaiškinimas', ir taip toliau yra dažnai naudojami argumentuose.
• Paaiškinimas yra dažnai naudojamas argumentų viduje ir atrodo kaip argumento tarnautojas.
• Panašiai, "... argumentai yra būtini procesui pateisinti bet kokio paaiškinimo galiojimą, kadangi paaiškinimas yra dažnai daugialypis bet kokiam duotam reiškiniui."

Paaiškinimas ir argumentai yra dažnai studijuojami Informacijos Sistemų lauke, kad padėtų paaiškinti vartotojų pritarimą žiniomis pagrįstoms sistemoms. Tam tikri argumento tipai pritaikomi geriau su asmenybės bruožais, kad padidintų asmenų pritarimą.

Klydimai ir anti-argumentai

Neteisingi supratimai yra argumento tipai ar posakių, kurie, kaip manoma, turi negaliojantį pavidalą ar turi savyje klaidas pagrinde. Nėra iki šiol jokios bendros teorijos neteisingo supratimo ar stiprios sutarties tarp tyrėjų, jų apibrėžimo ar potencialo pritaikymas, bet trukmė yra plačiai taikoma kaip etiketė tam tikriems klaidos pavyzdžiams, ir taip pat įvairiai pritaikytas dviprasmiškiems kandidatams.

Logiškuose neteisingo supratimo tipuose yra tvirtai apibūdinti tokiu būdu: Iš pradžių prielaidos ir išvada turi būti tvirtinimais, gebančiais būti teisingu ar neteisingu. Antra turi būti tvirtinama, kad išvada išplaukia iš prielaidų. Užtat žodžiai anglų kalboje, todėl, taip, nes, taigi vadinasi tipiškai atskiros prielaidos nuo išvados argumento, bet tai yra ne būtinai taip. Tokiu būdu: Sokratas yra vyras, visi vyrai yra mirtingi todėl, Sokratas yra mirtingas, ir čia yra aiškius argumentas (galiojantis čia), todėl, yra aišku, ir įrodo, kad Sokratas yra mirtingas,ir išplaukia iš ankstesnių tvirtinimų. Tačiau aš troškau, ir todėl aš gėriau, tai nėra argumentas, nepaisant jo išvaizda. Tai nėra reikalaujama, kad aš gėriau, yra logiškai sukeltas, aš troškau. Todėl šiame sakinyje priežasties nesiekiama.

Elipsiniai argumentai

Dažnai argumentas yra negaliojantis todėl, kad yra trūkstama prielaida – kurio pateikimas pavaizduoja jį galiojančiu. Kalbėtojai ir rašytojai dažnai praleidžia griežtai būtinos prielaidos savo samprotavime, jei tai bus plačiai priimama, ir rašytojas nenori išdėstyti akivaizdaus slėpimai. Pavyzdys: Visi metalai plečiasi kai kaitinosi, todėl geležis plėsis kai kaitinosi. (Trūkstama prielaida: geležis yra metalas). Antra, gali būti manoma, kad tariamai galiojantis argumentas yra prielaidos stoka – 'paslėptos prielaidos' – kuris savo pabrėžimu gali parodyti klaidą paaiškinime. Pavyzdys: liudininkas aiškino: Niekas neišėjo per paradinės durys išskyrus pienininką; todėl žmogžudys turi išeiti pro avarinės duris. (Paslėptos prielaidos - pienininkas nebuvo žmogžudys, ir žmogžudys išėjo ne per paradinės duris, o per avarinės duris).

Nuorodos

• Shaw, Warren Choate (1922). The Art of Debate. Allyn and Bacon. p. 74.
• Robert Audi, Epistemology, Routledge, 1998. Particularly relevant is Chapter 6, which explores the relationship between knowledge, inference and argument.
• J. L. Austin How to Do Things With Words, Oxford University Press, 1976.
• H. P. Grice, Logic and Conversation in The Logic of Grammar, Dickenson, 1975.
• Vincent F. Hendricks, Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression, New York: Automatic Press / VIP, 2005, ISBN 87-991013-7-8
• R. A. DeMillo, R. J. Lipton and A. J. Perlis, Social Processes and Proofs of Theorems and Programs, Communications of the ACM, Vol. 22, No. 5, 1979. A classic article on the social process of acceptance of proofs in mathematics.
• Yu. Manin, A Course in Mathematical Logic, Springer Verlag, 1977. A mathematical view of logic. This book is different from most books on mathematical logic in that it emphasizes the mathematics of logic, as opposed to the formal structure of logic.
• Ch. Perelman and L. Olbrechts-Tyteca, The New Rhetoric, Notre Dame, 1970. This classic was originally published in French in 1958.
• Henri Poincaré, Science and Hypothesis, Dover Publications, 1952
• Frans van Eemeren and Rob Grootendorst, Speech Acts in Argumentative Discussions, Foris Publications, 1984.
• K. R. Popper Objective Knowledge; An Evolutionary Approach, Oxford: Clarendon Press, 1972.
• L. S. Stebbing, A Modern Introduction to Logic, Methuen and Co., 1948. An account of logic that covers the classic topics of logic and argument while carefully considering modern developments in logic.
• Douglas Walton, Informal Logic: A Handbook for Critical Argumentation, Cambridge, 1998
• Carlos Chesñevar, Ana Maguitman and Ronald Loui, Logical Models of Argument, ACM Computing Surveys, vol. 32, num. 4, pp. 337–383, 2000.
• T. Edward Damer. Attacking Faulty Reasoning, 5th Edition, Wadsworth, 2005. ISBN 0-534-60516-8
• Charles Arthur Willard, A Theory of Argumentation. 1989.
• Charles Arthur Willard, Argumentation and the Social Grounds of Knowledge. 1982.

Papildoma literatūra

• Salmon, Wesley C. Logic. New Jersey: Prentice-Hall (1963). Library of Congress Catalog Card no. 63-10528.
• Aristotle, Prior and Posterior Analytics. Ed. and trans. John Warrington. London: Dent (1964)
• Mates, Benson. Elementary Logic. New York: OUP (1972). Library of Congress Catalog Card no. 74-166004.
• Mendelson, Elliot. Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostran Reinholds Company (1964).
• Frege, Gottlob. The Foundations of Arithmetic. Evanston, IL: Northwestern University Press (1980).
• Martin, Brian. The Controversy Manual (Sparsnäs, Sweden: Irene Publishing, 2014).