Spēka moments

Spēka moments τ, pielikts uzgriežņu atslēgai

Spēka moments raksturo spēka spēju izraisīt ķermeņa rotāciju attiecībā pret rotācijas asi. Kā formulu to pieraksta:

$M=Fl$, kur $M$ ir spēka moments, $F$ ir pieliktais spēks un $l$ ir spēka plecs(tuvākais attālums no spēka darbības taisnes līdz pagrieziena asij)

Spēka momentus, kas cenšas griezt ķermeni pret pulksteni sauc par pozitīviem, bet tos, kas cenšas griezt ķermeni pa pulksteni sauc par negatīviem (zīmes izriet no vektoriālā reizinājuma un labā rokas likuma)

Diagrammā pieliktais spēks ir $F$, bet plecs ir īsāks par $r$, plecs ir $d$. Spēka plecu var aprēķināt ģeometriski $d=r\sin {\alpha }$, kur $\alpha$ ir leņķis starp vektoriem $F$ un $r$.

Pagrieziena ass var būt reāla rotācijas ass, ap kuru ķermenis var griezties. Bet tā var būt arī iedomāta līnija, ap kuru spēks pagriež ķermeni. Tā, piemēram, smaguma spēka dēļ uz galda var apgāzties ziedu vāze, kad tā zaudē līdzsvaru.

Spēka momentu var novērot, piemēram, svirās, trīšos, vilciņos.

Spēka momenta statika

Lai objekts atrastos pilnīgā līdzsvarā(nedz paātrinās, nedz pāātrināti griežās), jāizpildās diviem nosacījumiem:

1. Spēku summai visus virzienos jābūt nullei:$\sum _{i=1}^{N}F_{x}=\sum _{i=1}^{N}F_{y}=\sum _{i=1}^{N}F_{z}=0$
2. Spēku momenu summai jābūt vienādi ar nulli: $\sum _{i=1}^{N}M_{i}=0$

Šādi objekti ir, piemēram, tilti, lustras, celtņi, grāmatas uz galda, trepes, kas balstās pret sienu- būtība jebkuri objekti, kuri atrodas pilnīgā līdzsvarā.

Piemērs

Spēka momenta statikas piemērs- grāmatas uz galda

• Grāmatas atrodas uz ozola galda pilnīgā līdzsvarā. Galds sver 40 kg, grāmatas sver 5 kg attālumi $l_{1}$ = 1m, $l_{2}$ = $l_{3}$ = 0,5 m. Aprēķināt spēkus $F_{1}$, $F_{2}$ ar kādiem galda kājas darbojas.

Tā kā ir divi nezināmie $F_{1}$ un $F_{2}$, nepieciešamas divas izteiksmes.

Viena no izteiskmēm ir spēka momentu līdzsvars. Var kā griežšanās punktu pieņemt $F_{1}$ pieliektā spēka punktu. Tādā gadījumā plecs spēkam $F_{1}$ būs nulle un spēka momentu formula pierakstīsies kā: $\sum {M_{i}}=F_{1}\cdot 0-m_{galds}g\cdot l_{1}-m_{gramatas}g\cdot (l_{1}+l_{2})+F_{2}\cdot (l_{1}+l_{2}+l_{3})=0$, izsakot $F_{2}$:

$F_{2}={\frac {m_{galds}g\cdot l_{1}+m_{gramatas}g\cdot (l_{1}+l_{2})}{l_{1}+l_{2}+l_{3}}}\approx 233N$

Otra izteiskme ir spēku summa pa $y$-asi. Spēku summa pierakstās kā:

$\sum {F_{iy}}=F_{1}+F_{2}-m_{galds}\cdot g-m_{gramatas}\cdot g=0$, izsakot $F_{1}$:

$F_{1}=m_{galds}\cdot g+m_{gramatas}\cdot g-F_{2}\approx 208N$

Spēka moments un rotācijas inerce

Lai objektu iegriezrtu, nepieciešams pielikt spēku, bet spēka virziens arī ir svarīgs. Piemēram, velkot durvju rokturi uz leju, durvis atveras, bet, ja šo spēku pieliktu, teiksim, gar rokturi, durvis neatvērtos. Spēka moments ir vienāds ar spēka un attāluma līdz rotācijas ass vekotiālam reizinājumam $M={\vec {r}}\times {\vec {F}}$, jeb skaitliski vienāds ar reizinājumu $M=rF\sin {\alpha }$, kur $\alpha$ ir leņķis starp ${\vec {r}}$ un ${\vec {F}}$ vektoriem.

Apskatot spēku, kas pielikts vienai daļiņai, kustoties pa riņķa līniju, tās paātrinājumu var izteikt kā $a=\varepsilon r$ un kā spēku $F=ma=m\varepsilon r$, pareizinot ar $r$ abas puses iegūst $M=mr^{2}\varepsilon$. Lielums $mr^{2}$ atbilst inerces momentam.

Ja apskata absolūti cietu rotējošu ķermeni, piemēram, riteni kas rotē ap tās centru, ritenis sastāv no daudziem punktiem dažādos attālumos no rotācijas ass, kur katrs atsevišķais spēka moments ir $M_{i}=m_{i}r_{i}^{2}\varepsilon$. Iespējams summēt šos spēku momentus: $\sum _{i=1}^{n}M_{i}=(\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2})\varepsilon$, savukārt $\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}$ ir cieta ķermeņa inerces moments, tādēļ iegūst $M=I\varepsilon$.

Piemērs

Spainim krītot smaguma dēļ, tas rada sastiepuma spēku ķēdē. Sastiepuma spēks savukārt rada spēka plecu grieztuvē, tā sāk griezties, spainis paātrinās lejā.

• Virs akas atrodas cilindriska grieztuve ar masu $M=4kg$, ap grieztuvi ķēdei galā pievienots spainis ar masu $m=1,5kg$. Aprēķināt spaiņa paātrinājumu, ja ķēdes masa ir neievērojama, ķēde ir nesastiepjama, un starp ķēdi un grieztuvi nav berzes.

Spēki, kas darbojas uz spaini, ir smaguma spēks un sastiepuma spēks $F=ma=mg-T$, savukārt spēka moments grieztuvei ir $M=I\varepsilon =TR_{o}$. Izsakot sastiepuma spēku no spēku summas: $T=m(g-a)$, aizvietojot leņķiso paātrinājumu ar $a=\varepsilon R_{o}$ (tālākā rādiusa paātrinājums atbilst ķēdes paātrinājumam) un ievietojot spēka momenta izteiksmē: $Ia=m(g-a)R_{o}^{2}$, atverot iekavas un pārnesot $a$ iegūst: $Ia+maR_{o}^{2}=mgR_{o}^{2}$, izsakot $a={\frac {mgR_{o}^{2}}{I+mR_{o}^{2}}}$, kur $I$ atbilst cilindram $I={\frac {1}{2}}MR_{o}^{2}$, ievietojot iegūst $a={\frac {mgR_{o}^{2}}{{\frac {1}{2}}MR_{o}^{2}+mR_{o}^{2}}}={\frac {mg}{{\frac {1}{2}}M+m}}={\frac {1,5\cdot 9,81}{{\frac {1}{2}}\cdot 4+1,5}}\approx 2,8\ m/s^{2}$

Skatīt arī

• Klucīšu kraušanas problēma