Virkne

Virkne matemātikā ir sakārtots saraksts. Līdzīgi kā kopa, arī virkne sastāv no elementiem jeb locekļiem. Elementu skaits, kas var arī būt bezgalīgs, tiek saukts par virknes garumu. Atšķirībā no kopas, virknē ir svarīga elementu kārtība, tāpat tajā var atkārtoties kāds no elementiem vairākas reizes. Virkne ir naturāla argumenta funkcija, kuras vērtības tiek ņemtas no kāda skaitļu apgabala (tās ir skaitļu virknes) vai arī patvaļīgas kopas. Virkni var apzīmēt kā sakārtotu kopu. To var uzdot gan ar vispārīgā locekļa formulu, gan ar rekurences formulu.

Piemēram, (K, A, U, L, S) ir virkne, kas sastāv no burtiem un kur pirmais elements ir "K" un pēdējais — "S". Šī virkne atšķiras no virknes (L, A, U, K, S). Virkne (1, 1, 2, 3, 5, 8), kurā skaitlis "1" atkārtojas divas reizes, ir derīga virkne.

Virknes var būt ierobežotas, kā šajos piemēros, kad to elementu skaits ir noteikts jeb galīgs, vai neierobežotas, kad tās sastāv no bezgalīgi daudz elementiem, piemēram, bezgalīga virkne ir naturāli pāra skaitļi (2,4,6...). Tiek definēta arī tukša virkne ( ), kura nesatur nevienu elementu, šī virkne arī atbilst nosacījumiem par virkni, bet ir brīži, kuros netiek ņemta vērā virkne, ja to elementi veido tukšu kopu.

Virkne ir viens no vienkāršākajiem funkcijas veidiem.

Piemēri un apzīmējumi

Virkni var iedomāties kā sarakstu ar sīkākiem elementiem. Virknes ir ļoti noderīgas matemātikā, piemēram, mācoties par funkcijām, ģeometriju un citām matemātiskām struktūrām, izmantojot virknes konverģences īpašības. Virknes apzīmēšanai ir vairāki veidi, daži no tiem tiek vairāk izmantoti specifiskiem virkņu tipiem. Viens no veidiem, kā iedalīt virkni, ir pēc rindas elementiem. Piemēram, pirmie četri nepāra skaitļi virknē (1, 3, 5, 7). Šī apzīmēšana var tikt izmantota arī bezgalīgām virknēm. Piemēram, bezgalīga virkne ar pozitīviem, nepāra, veseliem skaitļiem var tikt rakstīta šādi: (1, 3, 5, 7...). Bezgalīgo virkņu uzdošanai un pierakstīšanai ir ērti izmantot virknes vispārīgā locekļa aprēķināšanas formulu, kuru var izdomāt no pirmajiem virknes elementiem.

Piemēri

Ir daudz dažādu veselu skaitļu virkņu. Pirmskaitļi ir tādi naturāli skaitļi, kuriem ir tikai divi dalītāji, precīzāk, tie dalās tikai ar 1 un paši ar sevi. Pirmskaitļu virkne ir kopā ar elementiem: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...). Mācība par pirmskaitļiem ir īpaši svarīga, apgūstot skaitļu teoriju.

Fibonači skaitļi ir veselu skaitļu virkne, kuras katrs nākamais elements tiek veidots no iepriekšējo divu elementu summas. Pirmie divi elementi ir vai nu 0 un 1, vai 1 un 1. Virkne ir šāda: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).

Cita interesanta virkne iekļauj aizlieguma skaitļus, kas nedrīkst saturēt noteiktus alfabēta burtus. Piemēram, eban skaitļi (nedrīkst saturēt „e”, izrunājot angļu valodā) virknē (2, 4, 6, 30, 32, 34, 36, 40, 42, ...). Citā virknē, balstoties uz angļu valodas pareizrakstību, tiek ņemts vērā, cik katrā skaitļa vārdā ir burtu (3,3,5,4,4,3,5,5,4,3,6,6,8,...).

Citi svarīgi piemēri ir ar virknēm, kas ietver racionālos skaitļus, reālos skaitļus un kompleksos skaitļus. Virknes (0,9;0,99;0,999;0,9999;...) katrs nākamais elements arvien tuvojas skaitlim 1. Katrs reāls skaitlis var tikt rakstīts racionālu skaitļu virknes robežās. Piemēram, pī ir ierobežots virknē (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...).

Indeksi

Cita veida apzīmēšana var būt noderīga virknēm, kuru sistēma nav tik viegli uzmināma, vai virknēm, kuras nemaz neveido sistēmu, tādai kā skaitlim pī. šajā nodaļā saskarsimies ar   apzīmējumiem, ko lieto virknēs, kas ir naturālo skaitļu apakškopa. Lai vispārinātu citus saskaitāmo indeksu kompleksus, skataties zemāk un nākamo nodaļu. Virknes parasti apzīmē ar vienu mainīgo, piemēram (a_n), kur indeks n apzīmē n – to skaitli virknē

${\begin{aligned}a_{1}&\leftrightarrow &{\text{ 1st element}}\\a_{2}&\leftrightarrow &{\text{ 2nd element }}\\a_{3}&\leftrightarrow &{\text{ 3rd element }}\\\vdots &&\vdots \\a_{n-1}&\leftrightarrow &{\text{ (n-1)th element}}\\a_{n}&\leftrightarrow &{\text{ nth element}}\\a_{n+1}&\leftrightarrow &{\text{ (n+1)th element}}\\\vdots &&\vdots \end{aligned}}$

Indeksēšanas apzīmējums tiek lietots, lai atsauktos uz secību virknē. Tā arī apzīmē virkni, kuras elementi ir saistīti ar indeksu n (elementa pozīcija) vienkāršā veidā. Piemēram, virkne ar 10 pirmajiem cipariem, varētu tikt uzraksīta šādi :$(a_{1},a_{2},...,a_{10}),\qquad a_{k}=k^{2}.$

Šeit attēlota virkne (1, 4, 9, ... 100). Šis apzīmējums bieži tiek vienkāršots tālāk šādi :$(a_{k})_{k=1}^{10},\qquad a_{k}=k^{2}.$

Šeit apakšraksts k = 1 un augšraksts 10 paskaidro, ka virknes elementi ir a_k, kur k = 1, 2 ... 10.

Virknes var indeksēt sākumā un beigās ar jebkādu veselu skaitli. Bezgalības simbols (∞) lietots kā augšraksts, lai apzīmētu virknes, iekļaujot visus veselos skaitļus k vērtībā, sākot ar 1. Virkne ar visiem pozitīvajiem skaitļiem tiek apzīmēta šādi: :$(a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}.$

Gadījumā ja, indeksējamo ciparu komplekts ir saprotams, piemēram analīzē, bieži vien augšraksti un apakšraksti ir pa kreisi. Virknēs tiek parasti pieņemts rakstīt a_k. .Analizējot,  k tiek saprasts kā veselie skaitļi no 1 līdz ∞. Lai nu kā, bet bieži virkņu indeksi sāktas no 0 kā tas ir šeit :$(a_{k})_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},...).$

Dažos gadījumos virkņu elementi attiecas uz veselu skaitļu virknēm, kuru rakstu var viegli saprast. Šajos gadījumos indeksu komplekts var būt netieši norādīts uz pirmajiem dažiem elementiem. Piemēram, nepāra skaitļu kvadrātu virknes var tikt apzīmētas sekojoši

• $(1,9,25,...)$
• $(a_{1},a_{3},a_{5},...),\qquad a_{k}=k^{2}$
• $(a_{2k-1})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
• $(a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
• $((2k-1)^{2})_{k=1}^{\infty }$

Turklāt, augšraksti un apakšraksti var būt pa kreisi no trešā, ceturtā un piektā apzīmējuma, ja indeksu komplekts nebija saprasts kā naturālie skaitļi. Visbeidzot virknes var tikt apzīmētas rakstot kompleksu iekļaujot apakšrakstā, piemēram,

$(a_{k})_{k\in \mathbf {N} }$

Vērtību komplekts, ko indekss var uzņemties, tiek saukts par indeksa komplektu. Kopumā, a_k elementu secību nosaka secību indeksēšanas elementu kopums. Kur N ir indeksu komplekts, elements a_k+1 seko pēc elementa a_k līdz N, elements (k+1) seko tieši pēc elementa k.

Uzdodot virkni rekusīvi

Virkne, kuras elementi ar iepriekšējiem elementiem ir tieši saistīti, tiek uzdoti, izmantojot rekursiju.

Uzdodot virkni rekursīvi, ir nepieciešams likums, kas nosaka, kā nākamo elementu jāveido atkarībā no iepriekšējiem, turklāt ir jābūt uzdotiem pietiekami daudz sākuma elementiem, lai jaunus elementus varētu uzdot pēc attiecīgā likuma. Matemātiskās indukcijas principu var izmantot, lai pierādītu, ka virkne ir viennozīmīgi definēta, kas nozīmē, ka katrs elements ir uzdots vismaz vienu reizi un tam ir tikai viena vienīga vērtība. Indukciju var izmantot arī, lai pierādītu virknes īpašības, īpaši virknēm, kuru dabīgākais uzdošanas veids ir ar rekursiju.

Fibonači virkni var definēt, izmantojot rekursīvo sakarību un divus sākuma elementus. Šī sakarība nozīmē, ka katrs elements ir divu iepriekšējo elementu summa, un pirmie divi elementi ir 0 un 1.

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$, ar $a_{0}=0$ un $a_{1}=1$.

Pirmie 10 elementi šajā virknē ir 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 un 34. Sarežģītāks virknes piemērs, kas ir rekursīvi uzdots, ir Rekamana virkne. Rekamana virkni var uzdot šādi: $a_{0}=0$ un $a_{n}=a_{n-1}-n$   ja rezultāts ir pozitīvs un jau nav bijis sarakstā.

Citādāk $a_{n}=a_{n-1}+n$.

Ne visas virknes pēc sakarības var uzdot ar vienādojumu (rekursīvu vai ne-rekursīvu), un dažas var būt pietiekami sarežģītas. Piemēram, pirmskaitļu virkne ir sakārtota pirmskaitļu kopa. Iegūstam virkni 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...

Var novērot arī, ka nākamais virknes elements ir iepriekšējā elementa funkcija, tātad nākamo elementu var uzrakstīt kā: $a_{n+1}=f(a_{n})$

Šis funkcijas apzīmējums ir noderīgs, kad ir jāpierāda konkrētās virknes monotonitāte.

Formāla definīcija un pamatīpašības

Pastāv daudz dažādu virkņu jēdzienu, no kuriem daži tiks apskatīti zemāk minētajās definīcijās un apzīmējumos.

Definīcija

Virkne parasti tiek definēta kā funkcija, kuras definīcijas apgabals ir galīgi sakārtota kopa, kaut arī daudzās disciplīnās definīcijas apgabals ir ierobežots, piemēram, naturālos skaitļos. Reālanalīzē virkne ir funkcija, kas naturālu skaitļu apakškopu piekārto reāliem skaitļiem. Citiem vārdiem sakot, virkne ir sakarība  f(n) : N → R.

Kompleksajā analīzē virknes tiek definētas kā sakarības no naturāliem uz kompleksiem skaitļiem (C). Topoloģijā virknes tiek definētas kā funkcijas, kas naturālu skaitļu apakškopu piekārto topoloģiskajam laukumam. Virknes ir svarīgs koncepts, lai studētu funkcijas un topoloģiskos laukumus topoloģijā. Svarīgs virkņu vispārinājums, saukts tīkls, ir funkcijām no tiešajām kopām līdz topoloģiskajam laukumam.

Galīgas un bezgalīgas virknes

Virknes garums ir elementu skaits virknē.

Galīgas virknes ietver sevī arī tukšas virknes jeb tādas virknes, kurās nav elementu.

Parasti jēdziens bezgalīga virkne attiecas uz virkni, kura ir bezgalīga vienā virzienā un galīga otrā virzienā. Tas nozīmē, ka virknei ir pirmais elements, bet nav pēdējais. To sauc par vienpusēji bezgalīgu virkni, bet virkni, kas ir bezgalīga abos virzienos – par abpusēji bezgalīgu virkni. Funkcija no visu veselo skaitļu kopas Z uz tādu kopu, kurā, piemēram, ir visu pāra veselo skaitļu (..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8...) virkne, sauc par abpusēji bezgalīgu. Šādu virkni var apzīmēt kā $(2n)_{n=-\infty }^{\infty }$.

Var teikt, ka vienpusēji bezgalīgas virknes ir naturālo skaitļu R[N] apļa elementi un abpusēji bezgalīgas virknes – veselo skaitļu grupas apļa elementi.

Augošas un dilstošas virknes

Virkne tiek saukta par monotoni augošu, ja katrs elements ir lielāks vai vienāds par iepriekšējo elementu. Virknei $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ tas var tikt rakstīts kā  a_n ≤ a_n+1  visiem n ∈ N. Ja katrs nākamais elements ir lielāks nekā iepriekšējais, tad virkni sauc par stingri monotoni augošu. Virkne ir monotoni dilstoša, ja katrs nākamais elements ir mazāks vai vienāds ar iepriekšējo, un stingri monotoni dilstoša virkne, ja katrs elements ir stingri mazāks nekā iepriekšējais. Ja virkne ir augoša vai dilstoša, tad to sauc par monotonu virkni. Šis ir monotonu funkciju vispārīga jēdziena īpašs gadījums.

Jēdzieni „nedilstošs” un „neaugošs” bieži tiek izmantoti tā vietā, lai teiktu „augošs” un „dilstošs”, lai izvairītos no iespējama apjukuma, lietojot jēdzienus „stingri augošs” un „stingri dilstošs”.

Ierobežotas virknes

Virkne tiek saukta par ierobežotu no augšas, ja reālskaitļu (a_n) virkne, kurā visi elementi pēc viena konkrēta elementa ir mazāki nekā kāds konkrēts reālskaitlis M. Tas nozīmē  a_n ≤ M , jebkurš šāds M tiek saukts par augšējo robežu, ja nav tādu virknes elementu, kas būtu lielāki. Līdzīgi, ja kādam reālam m, kur a_n ≥ m visiem n, kas lielāki par kādu N, tad šādu virkni sauc par norobežotu no apakšas, un jebkurš šāds m tiek saukts par apakšējo robežu. Ja virkne ir norobežota gan no augšas, gan apakšas, tad šādu virkni sauc par ierobežotu no abām pusēm.

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ieraksts (angliski)
• PlanetMath.org ieraksts (angliski)
• On-line Encyclopedia of Integer Sequences (veselu skaitļu virkņu piemēri) (angliski)