Метрички простор

Нека е дадено непразно множество $\ X\neq \emptyset$ и нека во него воведеме пресликување

\ d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}

такво што $\ \forall x,y,z\in X$ :

$\ d(x,y)\geq 0$
$\ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
$\ d(x,y)=d(y,x)$
$\ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

Тогаш подредениот пар $\ (X,d)$ го нарекуваме метрички простор, а пресликувањето $\ d$ , метрика или растојание во метричкиот простор.

Неформално, метричкиот простор може да го сфатиме како непразно множество во кое на секој пар елементи му се придружува позитивен реален број; овој број е нула само ако елементите на парот се меѓусебно еднакви.

Значење

Метричките простори се многу битен концепт во математичката анализа и топологијата. Некои резултати од теоријата на метричките простори се клучни во обопшувањето на некои (на пример: интегрално сметање во n-димензии, формалното дефинирање на топка итн) или пак воведување на нови поими (отворени/затворени множества, концептот на мера итн). Најопшто следи заклучокот дека сѐ она со кое математиката се занимава во рамките на реалните n-димензионални Евклидови простори може да се обопшти на произволен метрички простор (диференцирање, интегрирање, геометрија во произволен метрички простор). Токму тука се границите на математичката анализа и делот каде таа преминува во топологија.

Со воведувањето на поимот за метрички простор се постигнува апстракција во поглед на поимот растојание, слично како што со векторските простори се постигнува апстракција на поимот вектор.

Примери

Улогата на метрика може да ја игра било кое пресликување кое за сите аргументи дава ненегативни резултати; тоа значи дека, во најмала рака, може да се конструираат „чудни“ метрички простори. Еве неколку примери за метрички простори:

Множеството реални броеви: $\ \mathbb {R}$ со метриката $\ d(x,y)=|x-y|$ е метрички простор.
Множеството од подредени n-торки реални броеви:

\ \mathbb {R} ^{n}={\big \{}(x_{1},x_{2},...,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=1,2,...n{\big \}}

со метриката

\ d(x,y)=d{\big (}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n}){\big )}={\big [}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}{\big ]}^{\frac {1}{2}}

е метрички простор.

Множеството $\ C_{[a,b]}$ , т.е. множеството од непрекинати функции дефинирани на интервалот $\ [a,b]$ со метриката:

\ d_{p}(f,g)=\left(\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{p}\,dx\right)^{\frac {1}{p}},\,\,\,\,\,\,\ p\geq 1

претставува метрички простор.

Било кое непразно множество $\ X$ со метриката:

\ d(x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y\\0,&x=y\end{cases}}

претставува метрички простор. Вака конструираниот метрички простор се нарекува Дискретен метрички простор, а метриката во него: Дискретна метрика.

Особено „чуден“ е последниов пример затоа што, буквално, по волја се задава растојанието меѓу два елемента од множеството.

Поврзано