Црвената засенчана област е блиску до -{h }- патот -{f (x )}-. Атернативно кога функциите A (x ) би биле познати, и двете површини би биле A (x + h ) − A (x ).h }-. Во математиката , поточно во математичката анализа , алтернативен назив за формулата на Њутн -Лајбниц . Оваа теорема ја дава врската меѓу неопределениот и определениот интеграл , односно дава начин на пресметување на вредноста на определениот интеграл преку неопределен.
Иако теоремата е позната како Формула на Њутн-Лајбниц , првиот формален доказ на тврдењето го дал шкотскиот математичар Џејмс Грегори (James Gregory), 1638 -1675 .
Формално, теоремата е зададена на следниов начин:
Нека
[
a
,
b
]
⊆
R
{\displaystyle \ [a,b]\subseteq \mathbb {R} }
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} }
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
F
{\displaystyle \ F}
f
{\displaystyle \ f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
или почесто запишано како:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
|
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(x)|_{a}^{b}}
Доказот на тврдењето е следниов:
Нека
ϵ
>
0
{\displaystyle \ \epsilon >0}
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Римановата дефиниција на определен интеграл , за тој
ϵ
{\displaystyle \ \epsilon }
δ
>
0
{\displaystyle \ \delta >0}
T
:
a
=
x
0
<
x
1
<
.
.
.
<
x
n
=
b
{\displaystyle T:\,\,a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b\,\,\,}
ξ
i
∈
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle \ \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
<
ϵ
2
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}
Нека
F
(
x
)
{\displaystyle \ F(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
теоремата на Лагранж за средна вредност постојат точки
ψ
i
∈
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}
F
(
x
i
+
1
)
−
F
(
x
i
)
=
F
′
(
ψ
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=F^{\prime }(\psi _{i})(x_{i+1}-x_{i})}
односно, бидејќи
F
{\displaystyle \ F}
f
{\displaystyle \ f}
F
(
x
i
+
1
)
−
F
(
x
i
)
=
f
(
ψ
i
)
(
x
i
+
1
−
x
i
)
{\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=f(\psi _{i})(x_{i+1}-x_{i})}
Тогаш, ако сумираме за
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1
{\displaystyle i=0,1,2,...,n-1}
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ψ
i
)
Δ
x
i
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}=F(b)-F(a)}
Од друга страна и точките
ψ
i
∈
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}
произволни “, исто како и точките
ξ
i
∈
[
x
i
,
x
i
+
1
]
{\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}
неравенството :
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ψ
i
)
Δ
x
i
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
<
ϵ
2
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|<{\frac {\epsilon }{2}}}
Тогаш, конечно, имаме:
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
(
F
(
b
)
−
F
(
a
)
)
|
=
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ψ
i
)
Δ
x
i
|
=
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-(F(b)-F(a))\right|=\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}\right|=}
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ψ
i
)
Δ
x
i
+
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
≤
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}+\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq }
|
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ξ
i
)
Δ
x
i
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
+
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
−
∑
i
=
0
n
−
1
f
(
ψ
i
)
Δ
x
i
|
<
ϵ
2
+
ϵ
2
=
ϵ
{\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|+\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\sum _{i=0}^{n-1}f(\psi _{i})\Delta x_{i}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }
од каде следи:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
)
|
a
b
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}}
каде
F
{\displaystyle \ F}
f
{\displaystyle \ f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
![{\displaystyle \ [a,b]\subseteq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8763a7370b143cfa41e0ec813df5c60a9fb4b8ed)
![{\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ed514b298741a6018df22ac55bd1ba97657f24)
![{\displaystyle \ [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c40bbeaa2f59e60b6259cebe2479bc24396f0)
![{\displaystyle \ \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f65bd8e855eb1b434f19bda3662153433edf79f)
![{\displaystyle \psi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9260d99fd9b77c3bd17ce2f23de276e601609b)
![{\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbaed6836803e74cd125c9f044f3d9f62005fbe4)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)