Потенцијална енергија

Потенцијална енергија
	.
Симболи	PE, U, or V
SI-единица	џул (J)
Изведенки од; други величини	U = m · g · h (грацитациска); U = ½ · k · x2 (еластична) ; U = ½ · C · V2 (електрична); U = -m · B (магнетна)

Во физиката, потенцијална енергија е енергија обземена од телото со помош на својата позиција во однос на другите, нагласува во себе, електрично полнење и други фактори.^[1]^[2]

Најчестите видови ги вклучуваат гравитациската потенцијална енергија на еден објект што зависи од неговата маса и нејзината оддалеченост од центарот на маса на друг објект, еластична потенцијална енергија на подолг пролет, и електрични потенцијална енергија на електричното полнење во електрично поле. Единица мерка за енергија во Меѓународниот Систем на Единици (SI) е joule, која има симболот J.

Терминот потенцијална енергија беше воведен од страна на 19 век, Шкотскиот инженер и физичар Вилијам Rankine,^[3]^[4] иако има линкови до грчкиот филозоф Аристотел's концептот на можностите. Потенцијална енергија е поврзан со силите кои делуваат на телото на начин што вкупниот работа со овие сили на телото зависи само од почетната и крајната позиции на телото во просторот. Овие сили, кои се нарекуваат потенцијалните сили, може да биде претставен во секоја точка во просторот со вектори се изразува како градиенти на одредени scalar функција наречена потенцијал.

Од работата на потенцијалните сили кои дејствуваат на тело кое се движи од почеток до крајот, позицијата е одредена само од овие две позиции, и не зависи од траекторијата на телото, таму е функција познат како потенцијални или потенцијална енергија која може да се оценува во две позиции за да се утврди оваа работа.

Преглед

Потенцијална енергија се складира енергија на објектот. Тоа е енергијата со помош на објектот е позиција во однос на другите објекти.^[5] Потенцијална енергија често се поврзува со враќање сили како што е пролет или на сила на гравитација. Дејството на истегнување на пролет или укинување на маса се врши со надворешна сила која работи против сила областа на потенцијалот. Ова дело е зачувана во сила поле, што се вели да се чуваат како потенцијална енергија. Ако надворешната сила се отстранети сила поле делува на телото да го изврши делото како што се движи телото назад на почетна позиција, намалување на делот на пролет или предизвикува телото да падне.

Да претпоставиме дека топката кои маса е м, а тоа е во h позиција во висина. Ако забрзувањето на слободен пад е g, тежината на топката е mg. Така вкупната работа или енергија е сила × поместување = mg × h = mgh Ep = mgh

Повеќе формални дефиниција е дека потенцијална енергија е енергија разлика меѓу енергија на еден објект во дадената позиција и својата енергија на референтната позиција.

Постојат различни видови на потенцијална енергија, секоја поврзани со одреден тип на сила. На пример, работата на еластична сила се нарекува еластична потенцијална енергија; работа на гравитациската сила е наречен гравитациската потенцијална енергија; работа на Coulomb сила се нарекува електрично потенцијална енергија; работа на силната јадрена сила или слаба јадрена сила дејствува на baryon задолжен се нарекува јадрена потенцијална енергија; работа на intermolecular сили се нарекува intermolecular потенцијална енергија. Хемиски потенцијал на енергија, како што се енергијата зачувана во фосилните горива, е дело на Coulomb сила за време на изменување на заеднички позиции на електроните и јадра во атоми и молекули. Топлинска енергија обично има две компоненти: кинетичката енергија на случајни движења на честички и потенцијална енергија на нивните заеднички позиции.

Сили derivable од потенцијалните исто така се нарекува конзервативните сили. Работа со конзервативна сила е

каде е промената во потенцијална енергија поврзани со сила. Негативниот знак обезбедува конвенцијата кои работат направено против сила поле се зголемува потенцијалната енергија, при работа со сила полето се намалува потенцијална енергија. Заеднички нотации за потенцијална енергија се U, V, исто така, E_стр.

Работа и потенцијална енергија

Потенцијална енергија е тесно поврзана со сили. Ако на работа со сила на тело кое се движи од А кон Б не зависи од патот помеѓу овие точки, тогаш работата на оваа сила се мери од Еден доделува scalar вредност на секоја друга точка во просторот и дефинира scalar потенцијал поле. Во овој случај, на сила може да се дефинира како негативен на вектор искачување на потенцијалното поле.

Ако се работи за применета сила е независен од патот, а потоа и на работа од страна на сила е оценето на почетокот и крајот на траекторијата на точката на апликацијата. Ова значи дека таму е функција U (x), наречен "потенцијал", што може да се оценува на две точки x -_A и x_B да се добие работа во однос на секој траекторијата помеѓу овие две точки. Тоа е традицијата да се дефинира оваа функција со негативен знак, така што позитивна работа е намалување на потенцијалот, што е

каде C е на траекторијата земени од А до Б., Бидејќи на работа е независна од патеката, а потоа овој израз е точно за каква било траекторија, В, од А до Б.

Функцијата U(x) се нарекува потенцијална енергија поврзани со применетата сила. Примери на сили кои имаат потенцијални енергии се гравитацијата и пролет сили.

Преносливо од потенцијалот

Во овој дел односот помеѓу работата и потенцијална енергија е презентирани во повеќе детали. На линија интегрален што ги дефинира работат заедно крива C зема посебна форма ако силата F е поврзана со scalar областа φ(x), така што

Во овој случај, работат заедно на кривата е дадена со

кој може да биде проценета со користење на тебе теорема за да се добие

Ова покажува дека кога сили се derivable од scalar поле, работа на оние сили по должината на крива C е пресметано преку испитувањето на scalar областа на почетната точка A и крајната точка B на крива. Ова значи и работа составен не зависи од патот помеѓу A и B и се вели дека е независна од патот.

Потенцијална енергија U=-φ(x) е традиционално се дефинира како негативен на оваа scalar поле, така што работат со сила полето се намалува потенцијална енергија, која е

Во овој случај, примената на дел оператор на работа функција приноси,

и силата F е кажано да биде "derivable од голем потенцијал."^[6] Ова исто така мора да значи дека F , мора да биде конзервативна вектор поле. Потенцијалните У дефинира сила F во секоја точка x во вселената, па го постави на силите се нарекува сила поле.

Компјутерски потенцијална енергија

Даде сила поле F(x), евалуација на работата составен користење на тебе теорема може да се користи за да се најде scalar функцијата поврзани со потенцијална енергија. Ова е направено со воведување на parameterized крива γ(t)=r(t) од γ(a)=A да γ(б)=B, и компјутери,

За сила поле F, нека v= dr/dt, тогаш од тебе теорема приноси,

Силата применета на телото со сила поле се добива од искачување на работа, или потенцијал, во насока на брзината v на точка за апликацијата, што е

Примери на работа кој може да биде пресметано од потенцијалните функции се гравитацијата и пролет сили.^[7]

Потенцијална енергија за во близина на Земјата гравитацијата

На trebuchet користи гравитациската потенцијална енергија на противтежа да се фрли проектили над двесте метри

Следниве функција се нарекува потенцијална енергија на во близина на земјата гравитацијата поле:

каде m е во kg, g е 9.81 за земјата и ж е во метри.

Во класичната физика, гравитацијата врши постојан надолен сила F=(0, 0, F_z) на центарот на масата на телото се движи во близина на површината на Земјата. Работата на гравитацијата на телото се движи по траекторијата r(t) = (x(t), y(t), z(t)), како што е песна на тобоганот се пресметува со користење на неговата брзина, v=(v_x, v_y, v_z), за да се добие

каде составен дел на вертикалната компонента на брзината е вертикална оддалеченост. Забележете дека работата на гравитацијата зависи само на вертикално движење на кривата r(t).

Потенцијална енергија за еден линеарен пролет

Стрелаштво е еден од човештвото е најстарата апликации на еластична потенцијална енергија

Хоризонтална пролет врши сила F = (−kx, 0, 0), што е пропорционална на нејзината девијации во x правец. Работата на оваа пролет на телото се движат по должината на простор крива s(t) = (x(t), y(t), z(t)), се пресметува со користење на неговата брзина, v = (v_x, v_y, v_z), за да се добие

За погодност, сметаат контакт со пролет се случува во t = 0), а потоа на интегрален производ на растојание x и x-брзината, xv_xе x²/2.

Функцијата

се нарекува потенцијална енергија на линеарни пролет.

Еластична потенцијална енергија е потенцијална енергија на еластична објект (на пример лак или катапулт) дека е деформирано под тензија или на компресија (или истакна во формалниот терминологија). Тоа се јавува како последица на сила што се обидува да се врати на објектот во својата првобитна форма, која е најчесто електромагнетна сила помеѓу атоми и молекули кои го сочинуваат предметот. Ако делот е пуштен на слобода, енергија се претвора во кинетичка енергија.

Потенцијална енергија за гравитациските сили помеѓу две тела

Функцијата на гравитациски потенцијал, исто така познат како гравитациската потенцијална енергија, е:

Негативниот знак следи конвенцијата дека работата е стекнато од губење на потенцијална енергија.

Деривација

Гравитациската потенцијална енергија помеѓу две тела во просторот се добива од сила притискан од масата M на друга маса m е даден со

каде што r е на позиција вектор од објектот со маса M на објект со маса mи G е гравитациска константа.

Ова исто така може да се изрази како

каде е вектор на должината 1 посочувајќи од М да м.

Нека маса m се движи со брзина v , тогаш работата на гравитацијата на оваа маса како тој се движи од позиција r(t₁) r(t₂) е дадена со

Забележете дека позицијата и брзината на маса m се дадени од страна на

каде е_р и е_т се радијална и tangential единица вектори насочени во однос на вектор од М да м. Користете го ова за да се поедностави формула за работа на гравитацијата,

Оваа пресметка се користи фактот дека

Потенцијална енергија за електростатичко сили помеѓу две тела

Електростатичката сила притискана од полнеж Q на друг полнеж q е дадена со

каде што r е позиционалниот вектор од Q до q и ε₀ е вакумна диелектрична енергија. Ова исто така може да биде напишана со користење на Колумбувата константа k_e = 1 ⁄ 4πε₀.

Работата W потребна да се движи q од А до било која точка Б во електростатичкото силино поле е дадена од страна на потенцијалните функција

Однесливо ниво

Потенцијалната енергија е функција на состојбата на системот, и се дефинира во однос на тоа што за одредена држава. Оваа однеслива државата не е секогаш вистинска држава, тоа исто така може да се ограничи, на пример како со растојание помеѓу сите тела чувајќи кон бесконечност, под услов енергија вклучени во тенденција на таа граница е конечна, како на пример во случај на инверзни-квадрат закон сили. Било која произволна однеслива држава може да се користи, поради тоа, може да бидат избрани врз основа на договор.

Обично потенцијална енергија на системот зависи од релативните позиции на нејзините компоненти само, па референтната состојба, исто така може да се изрази во однос на релативните позиции.

Гравитациската потенцијална енергија

Гравитациската енергија е потенцијална енергија поврзана со гравитациската сила, како што работа е потребна за да се воздигне предмети против Земјината гравитација.Потенцијалната енергија поради зголемени позиции се нарекува гравитациски потенцијална енергија, и е потврдено од страна на вода во покачен изгореници или се чуваат зад браната. Ако некој објект паѓа од една точка до друга точка во внатрешноста на гравитациското поле, на сила на гравитација ќе направи позитивна работа на објектот, и гравитациската потенцијална енергија ќе се намали од страна на истиот износ.

Размислете книга се става на врвот на табелата. Како книгата е подигната од подот, на маса, некои надворешни сили работат против гравитациската сила. Ако книгата паѓа назад кон подот, "падливата" енергија која книгата ја добива е предвидено од страна на гравитациската сила. Така, ако книгата паѓа исклучување на табелата, оваа потенцијална енергија оди да се забрза маса на книгата и е претворена во кинетичка енергија. Кога книгата хитови на подот оваа кинетичката енергија се претвора во топлина, деформација и звукот од ударот.

Фактори кои влијаат на објектот е гравитациската потенцијална енергија се висината, во однос на некоја референтна точка, неговата маса, и силата на гравитациското поле е тоа. Така, книга лежи на маса има помалку гравитациската потенцијална енергија од истата книга на врвот на повисоки ковчегот, и помалку гравитациската потенцијална енергија од потешки книги кои лежат на иста маса. Предмет на одредена височина над површината на Месечината има помалку гравитациската потенцијална енергија отколку во иста висина над површината на Земјата, бидејќи Месечината е гравитацијата е послаба. Имајте на ум дека "висина" во општа смисла на терминот не може да се користи за гравитациската потенцијална енергија пресметки кога гравитацијата не е се претпоставува да биде постојана. Следниве делови ги даде повеќе детали.

Локална апроксимација

Силата на гравитациското поле варира во зависност од локацијата. Сепак, кога промената на далечина е мал во однос на оддалеченост од центарот на изворот на гравитациското поле, оваа варијација во областа на сигналот е занемарлива и ние може да се претпостави дека на сила на гравитација на одреден објект е постојана. Во близина на површината на Земјата, на пример, да претпоставиме дека на забрзување поради гравитацијата е константа g = 9.8 m/s² ("стандардна гравитација"). Во овој случај, едноставен израз за гравитациската потенцијална енергија може да се изведе со користење на W = Fd равенката за работа, и на равенката

Износот на гравитациската потенцијална енергија ја поседува зголемен објект е еднаква на работа против гравитацијата во кревање. На работа е еднаква на сила потребна да се движат нагоре множи со вертикална оддалеченост тоа е преместена (запомнете W = Fd). Нагорниот сили потребни додека се движи со константна брзина е еднаква на тежината, mg, на некој објект, така и на работа во подигање низ висина h е производ mgh. На тој начин, кога сметководството само за маса, тежинаи височина, равенка е:Грешка во наводот: Отворачката ознака <ref> не е добро срочена или има погрешно име.

каде што U е потенцијална енергија на објектот во однос на тоа што на површината на Земјата, m е масата на објектот, g е на забрзување поради гравитацијата, а h е висина на објектот.^[8] Ако m е изразена во килограми, g во m/s² и h во метри , тогаш U ќе се пресметува во Џули.

Оттука, потенцијалната разлика е

Општата формула

Сепак, со текот на големи варијации во далечина, приближно дека g е постојана повеќе не е валидна, и ние треба да користиме математиката и општата математичка дефиниција на работа за да се утврди гравитациската потенцијална енергија. За пресметување на потенцијалната енергија што можат да се интегрира на гравитациската сила, чија големина е дадена од страна на Њутн е законот на гравитацијата, во однос на растојание r помеѓу две тела. Користејќи ја оваа дефиниција, гравитациската потенцијална енергија на системот на масите m₁ и М₂ на растојание r користење на гравитациската константа G е

,

каде К е произволна константа зависи од изборот на податок од кои потенцијал се мери. Изборот на конвенцијата дека K=0 (т.е. во однос на точка во бесконечност) прави пресметки поедноставно, макар и по цена на одлуки У негативни; зошто ова е физички разумни, види подолу.

Со оглед на оваа формула за U, вкупниот потенцијална енергија на системот на n тела се пронајдени од страна на собирање, за сите парови на две тела, потенцијалната енергија на системот на овие две тела.

{\displaystyle } — Гравитацискиот потенционален збир

Со оглед на систем од тела, како комбиниран сет на мали честички на органи се состојат од, и примена на претходната на честички ниво добиваме негативни гравитациско обврзувачка енергија. Оваа потенцијална енергија е повеќе силно негативно од вкупниот потенцијална енергија на системот на органи како такви, бидејќи тоа исто така вклучува и негативните гравитациско обврзувачки енергија на секое тело. Потенцијалната енергија на системот на тела како што е негативно на енергија е потребно за да се одвојат тела од едни на други за бесконечност, додека гравитациско обврзувачки енергија е енергијата потребна да се одделат сите честички од едни на други за бесконечност.

затоа,

,

Како и со сите потенцијални енергии, само разликите во гравитациската потенцијална енергија е важно за повеќето физички потреби, и изборот на нулта точка е произволно. Со оглед на тоа дека не постои разумна критериум за претпочита еден особено конечни р над друг, се чини дека постојат само две разумен избор за растојанието на кое У станува нула: и . Изборот на во бесконечност може да изгледа необично, и како последица дека гравитациската енергија е секогаш негативен може да изгледа незраворазумски, но овој избор дозволува гравитациската потенцијална енергија вредности да се конечни, макар и негативни.

На посебност на во формулата за гравитациската потенцијална енергија значи дека само други навидум разумна алтернатива избор на конвенцијата, со за , би можело да резултира во потенцијална енергија да се биде позитивен, но бескрајно голем за сите nonzero вредностите на r, и ќе го направи пресметки кои вклучуваат суми или разлики на потенцијалните енергии подалеку од она што е можно со реалниот броен систем. Бидејќи физичари погнуси infinities во своите пресметки, и r е секогаш не-нулта во праксата, избор на во бесконечност е далеку повеќе претпочитан избор, дури и ако идејата на негативна енергија во гравитацијата и се појавува да биде чудно на прв.

На негативна вредност за гравитациска енергија, исто така, има подлабоко импликации кои го прават тоа се чини дека се поразумни во космолошките пресметки каде што вкупната енергија на универзумот може да биде корисно смета; види инфлацијата теорија за повеќе за ова.

Користи

Зошто да се одбере конвенцијата каде гравитациска енергија е негативна?

Гравитациската потенцијална енергија има голем број на практични користи, особено генерација на пумпа-складирање хидроенергија. На пример, во Dinorwig, Велс, постојат и две езера, еден на повисока надморска височина од другите. Во времето кога вишок на електрична енергија не е потребно (и така е релативно евтини), водата се пумпа до високото езеро, на тој начин претворање на електрична енергија (водење на пумпа) да гравитациската потенцијална енергија. Во време на шпицот на туристичката побарувачка за електрична енергија, вода тече назад преку електричен генератор турбини, претворање на потенцијална енергија во кинетичка енергија и потоа да се врати во електрична енергија. Процесот не е целосно ефикасен, а некои од оригиналната енергија од вишокот на електрична енергија е во фактот загуби од триење.^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]

Гравитациската потенцијална енергија е исто така се користи за напојување на часовници во кој паѓа тегови работат на механизам.

Тоа е исто така се користи од страна на противтежност за подигнување на лифтот, кран, или sash прозорец.

Тобогани се забавен начин да се користат потенцијална енергија - синџири се користи за да се движи автомобилот до приклонуваат (градење гравитациската потенцијална енергија), за да потоа истата енергија претворена во кинетичка енергија како тоа паѓа.

Уште една практична употреба е користење на гравитациската потенцијална енергија да се спушти (можеби брег) спуст во транспортот, како што слегувањето на автомобил, камион, железничката воз, велосипед, авион, или течност во гасоводот. Во некои случаи на кинетичката енергија добиена од потенцијална енергија на потекло може да се користи за да се стартува растечки следниот степен, како што се случува кога на патот е повлажна и има чести сосови. На комерцијализација на складирана енергија (во форма на железнички вагони зголеми на повисоки коти), кои потоа се претвора во електрична енергија кога е потребно од страна на електрична мрежа, се преземаат во сад во системот наречен Напредни Железничко Енергични Складации .^[14]^[15]^[16]

Хемиски потенцијална енергија

Хемиски потенцијал енергија е форма на потенцијална енергија во врска со структурните аранжман на атоми или молекули. Овој аранжман може да биде резултат на хемиски врски во молекулата или на друг начин. Хемиската енергија на една хемиска супстанца може да се трансформира во други форми на енергија од страна на една хемиска реакција. Како пример, кога гориво е изгорена на хемиската енергија се претвора во топлина, ист е случајот и со варењето на храната метаболизира во биолошки организам. Зелени растенија се трансформира сончева енергија на хемиска енергија преку процес познат како пат на фотосинтеза, и електрична енергија можат да се претворат во хемиска енергија преку електрохемиски реакции.

На сличен термин хемиски потенцијал се користи за да се укаже на потенцијалот на една супстанца да се подложи на промена на конфигурација, било да е тоа во форма на хемиска реакција, просторни транспорт, честички размена со еден резервоар, итн.

Електричен потенцијал на енергија

Еден објект може да има потенцијална енергија со помош на своето електрично полнење и неколку сили поврзани со нивното присуство. Постојат два главни типа на овој вид на потенцијална енергија: електростатичка потенцијална енергија, електродинамичка потенцијална енергија (исто така понекогаш се нарекува магнетна потенцијална енергија).

Електростатичка потенцијална енергија

Електростатичка потенцијална енергија помеѓу две тела во просторот се добива од сила притискана од полежот Q на друг полнење q која е дадена со

каде што r позиционален вектор од Q до q и ε₀ е вакумна диелектрична енергија. Ова исто така може да биде напишана со користење на Колумбовата k_e = 1 ⁄ 4πε₀.

Ако електричното полнење на некој објект може да се претпостави да биде на одмор, тогаш тоа има потенцијална енергија, поради неговата позиција во однос на останатите обвинети објекти. На електростатичка потенцијална енергија е енергија на електрично полни честички (на одмор) во електрично поле. Таа се дефинира како работа која мора да се направи за да се преместите од бесконечно растојание на својата сегашна локација, прилагодени за не-електрични сили на објектот. Оваа енергија, генерално, ќе биде не-нулта ако постои друг electrically обвинет објект во близина.

Работата W барана да се помести q од А до било која точка Б во електростатичкото силино поле е дадена од страна на потенцијалната функција

Поврзано количество се нарекува електричен потенцијал (најчесто означена со V за напонски) е еднаков на електричен потенцијал на енергија по единица бесплатно.

Магнетна потенцијална енергија

Енергијата на магнетен момент $m$ во надворешно произведуваат магнетни Б-поле $B$ има потенцијална енергија^[17]

На магнетизацијата $M$ во областа на едно поле е

каде составен може да биде над сите простори или, еквивалентно, каде што $M$ е различно од 0.^[18] Магнетната потенцијална енергија е форма на енергија поврзана не само со растојанието помеѓу магнетни материјали, но исто така и со ориентација, или усогласување на тие материјали во рамките на тоа поле. На пример, иглата на компасот има најниска магнетни потенцијална енергија кога тоа е во согласност со северна и јужна половите на Земјата е магнетно поле. Ако иглата е преместена од страна на надворешна сила, вртежен момент е имал на магнетното dipole на иглата од страна на Земјата на магнетното поле, предизвикува таа да се движи назад во усогласување. Магнетното потенцијална енергија на иглата е најголема кога нејзината област е во иста насока како и на Земјата магнетно поле. Два магнети ќе има потенцијална енергија во однос на едни со други и растојанието помеѓу нив, но ова исто така зависи од нивната ориентација. Ако спротивните полови се одржа освен, потенцијалната енергија ќе биде на највисоко кога тие се во близина на работ на својата привлечност, и најниската кога тие се повлече заедно. Спротивно на тоа, како столбови ќе имаат највисок потенцијал енергија кога се принудени заедно, и најниската кога тие пролет, освен.^[19]^[20]

Јадрена потенцијална енергија

Потенцијална енергија за електростатички сили помеѓу две тела

Јадрена потенцијална енергија е потенцијална енергија на честичките внатре во атомското јадро. На јадрени честички се врзани заедно со силната јадрена сила. Слаби јадрени сили обезбеди потенцијална енергија за одредени видови на радиоактивни на забите, како што се бета распаѓање.

Јадрени честички како и протоните и неутроните не се уништени во процеси на цепење и топење, но колекции од нив имаат помалку маса отколку ако тие беа поединечно бесплатно, и ова масовно разликата е во кој се ослободува како топлина и зрачење во јадрените реакции (на топлина и зрачење имаат недостасува маса, но тоа често се бега од системот, каде што тоа не е се мери). Енергијата од Сонцето е пример на овој вид на енергетско претворање. Во Сонцето, процесот на водородно соединување претвора околу 4 милиони тони, од сончевата материја во секунда во електромагнетна енергија, која е зрачеше во вселената.

Сили и потенцијална енергија

Потенцијална енергија е тесно поврзана со сили. Ако на работа со сила на тело кое се движи од А кон Б не зависи од патот помеѓу овие точки, тогаш работата на оваа сила се мери од Еден доделува scalar вредност на секоја друга точка во просторот и дефинира scalar потенцијал поле. Во овој случај, на сила може да се дефинира како негативен на вектор искачување на потенцијалното поле.

На пример, гравитацијата е конзервативна сила. Поврзани потенцијал е гравитациската потенцијална, често се назначува од страна на или , одговара на енергија по единица маса како функција од позицијата. На гравитациската потенцијална енергија на две честички со маса M и m одделени со растојание r е

Гравитацискиот потенцијал (специфична енергија) на две тела е

каде е намалена маса.

На работа против гравитацијата со поместување на infinitesimal маса од точка А со до точка Б, со е и на работа да се вратам на друг начин е така што вкупниот работа во движи од А до Б и враќање да е

Ако потенцијалот со кој се извршува редефинирање во да биде и потенцијалот на Б да биде , каде е константа (т.е. може да биде било кој број, позитивни или негативни, но тоа мора да биде иста во, како што е на Б) потоа, на работа се случува од А до Б е

како и досега.

Во практична смисла, ова значи дека може да се наместите на нула и насекаде еден сака. Може да се постави да биде нула во површината на Земјата, или може да го најдете повеќе практично да ги наместите на нула во бесконечност (како во изрази дадени претходно во ова поглавје.

Конзервативна сила може да се изрази во јазикот на диференцијална геометрија како затворена форма. Како Euclidean простор е contractible, својата де Rham cohomology vanishes, па секој затворена форма е исто така точната форма, и може да се изрази како искачување на scalar поле. Ова дава математички оправданост на фактот дека сите конзервативни сили се градиенти на потенцијалното поле.

Белешки

↑ Jain, Mahesh C. „Fundamental forces and laws: a brief review“. Textbook Of Engineering Physics, Part 1. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 10. ISBN 9788120338623. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)
↑ McCall, Robert P. (2010). „Energy, Work and Metabolism“. Physics of the Human Body. JHU Press. стр. 74. ISBN 978-0-8018-9455-8. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)
↑ William John Macquorn Rankine (1853) "On the general law of the transformation of energy," Proceedings of the Philosophical Society of Glasgow, vol. 3, no. 5, pages 276-280; reprinted in: (1) Philosophical Magazine, series 4, vol. 5, no. 30, pages 106-117 (February 1853); and (2) W. J. Millar, ed., Miscellaneous Scientific Papers: by W. J. Macquorn Rankine, .
↑ Smith, Crosbie (1998). The Science of Energy - a Cultural History of Energy Physics in Victorian Britain. The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76420-6. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)
↑ Brown, Theodore L. (2006). Chemistry The Central Science. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, Inc. стр. 168. ISBN 0-13-109686-9.
↑ John Robert Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 978-1-891389-22-1. Посетено на 30 July 2013. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)
↑ Burton Paul (1979). Kinematics and dynamics of planar machinery. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-516062-6. Посетено на 30 July 2013. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)
↑ „Hyperphysics - Gravitational Potential Energy“.
↑ „Energy storage - Packing some power“. The Economist. 2011-03-03. Посетено на 2012-03-11.
↑ Jacob, Thierry.
↑ Levine, Jonah G. Pumped Hydroelectric Energy Storage and Spatial Diversity of Wind Resources as Methods of Improving Utilization of Renewable Energy Sources Архивирано на 1 август 2014 г. page 6, University of Colorado, December 2007.
↑ Yang, Chi-Jen.
↑ Energy Storage Архивирано на 18 ноември 2015 г. Hawaiian Electric Company.
↑ Packing Some Power: Energy Technology: Better ways of storing energy are needed if electricity systems are to become cleaner and more efficient, The Economist, 3 March 2012
↑ Downing, Louise.
↑ Kernan, Aedan.
↑ Aharoni, Amikam (1996). Introduction to the theory of ferromagnetism (Repr.. изд.). Oxford: Clarendon Pr. ISBN 0-19-851791-2.
↑ Jackson, John David (1975). Classical electrodynamics (2d. изд.). New York: Wiley. ISBN 0-471-43132-X.
↑ Livingston, James D. (2011). Rising Force: The Magic of Magnetic Levitation. President and Fellows of Harvard College. стр. 152.
↑ Kumar, Narinder (2004). Comprehensive Physics XII. Laxmi Publications. стр. 713.

[1] Jain, Mahesh C. „Fundamental forces and laws: a brief review“. Textbook Of Engineering Physics, Part 1. PHI Learning Pvt. Ltd. стр. 10. ISBN 9788120338623. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)

[2] McCall, Robert P. (2010). „Energy, Work and Metabolism“. Physics of the Human Body. JHU Press. стр. 74. ISBN 978-0-8018-9455-8. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)

[3] William John Macquorn Rankine (1853) "On the general law of the transformation of energy," Proceedings of the Philosophical Society of Glasgow, vol. 3, no. 5, pages 276-280; reprinted in: (1) Philosophical Magazine, series 4, vol. 5, no. 30, pages 106-117 (February 1853); and (2) W. J. Millar, ed., Miscellaneous Scientific Papers: by W. J. Macquorn Rankine, .

[4] Smith, Crosbie (1998). The Science of Energy - a Cultural History of Energy Physics in Victorian Britain. The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76420-6. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)

[:0-5] Brown, Theodore L. (2006). Chemistry The Central Science. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, Inc. стр. 168. ISBN 0-13-109686-9.

[6] John Robert Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 978-1-891389-22-1. Посетено на 30 July 2013. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)

[7] Burton Paul (1979). Kinematics and dynamics of planar machinery. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-516062-6. Посетено на 30 July 2013. Укажано повеќе од еден |ISBN= и |isbn= (help)

[8] „Hyperphysics - Gravitational Potential Energy“.

[EconomistPSH-9] „Energy storage - Packing some power“. The Economist. 2011-03-03. Посетено на 2012-03-11.

[thier-10] Jacob, Thierry.

[Levine-11] Levine, Jonah G. Pumped Hydroelectric Energy Storage and Spatial Diversity of Wind Resources as Methods of Improving Utilization of Renewable Energy Sources Архивирано на 1 август 2014 г. page 6, University of Colorado, December 2007.

[yang-12] Yang, Chi-Jen.

[heco-13] Energy Storage Архивирано на 18 ноември 2015 г. Hawaiian Electric Company.

[Economist-2012.03.03-14] Packing Some Power: Energy Technology: Better ways of storing energy are needed if electricity systems are to become cleaner and more efficient, The Economist, 3 March 2012

[Bloomberg-2012.09.06-15] Downing, Louise.

[16] Kernan, Aedan.

[17] Aharoni, Amikam (1996). Introduction to the theory of ferromagnetism (Repr.. изд.). Oxford: Clarendon Pr. ISBN 0-19-851791-2.

[18] Jackson, John David (1975). Classical electrodynamics (2d. изд.). New York: Wiley. ISBN 0-471-43132-X.

[19] Livingston, James D. (2011). Rising Force: The Magic of Magnetic Levitation. President and Fellows of Harvard College. стр. 152.

[20] Kumar, Narinder (2004). Comprehensive Physics XII. Laxmi Publications. стр. 713.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]