നാലുനിറസിദ്ധാന്തം
അടുത്തടുത്തുള്ള ഭാഗങ്ങൾക്ക് ഒരേ നിറം വരാത്ത രീതിയിൽ ഏത് ഭൂപടത്തിനും നാലിൽ കൂടുതൽ നിറങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ നിറം കൊടുക്കാം എന്ന പ്രസ്താവനയാണ് നാലുനിറസിദ്ധാന്തം (Four colour theorem) അഥവാ ഗുഥ്‌രീ സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. 1852-ൽ ഫ്രാൻസിസ് ഗുഥ്‌രീ പരികല്പന ചെയ്ത ഈ പ്രസ്താവന നൂറിലേറെ വർഷങ്ങൾക്കു ശേഷം കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ കെന്നെത് അപ്പെൽ, വുൾഫ്ഗാങ് ആക്കൻ എന്നിവർ ചേർന്നാണ് തെളിയിച്ചത്.
സിദ്ധാന്തം
[തിരുത്തുക]സാങ്കേതികമായി സിദ്ധാന്തത്തെ ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കാം : ഒരു പ്രതലത്തെ ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ വിഭജിക്കുക. രണ്ടു ഭാഗങ്ങൾ മൂലകളിൽ മാത്രമല്ലാതെ തൊട്ടുകിടക്കുന്നുവെങ്കിൽ അവയെ അയൽഭാഗങ്ങളായി (adjacent) കണക്കാക്കാം. അയൽഭാഗങ്ങൾക്ക് ഒരേ നിറം വരാത്ത രീതിയിൽ പ്രതലത്തിന് നിറം കൊടുക്കാൻ നാല് നിറങ്ങളിൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമില്ല.
ഗ്രാഫ് തിയറിയുടെ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ : ഒരു അഗ്രം വഴി ബന്ധിതമായിട്ടുള്ള രണ്ട് ശീർഷങ്ങൾക്ക് ഒരേ നിറം വരാത്ത രിതിയിൽ അദിശമായ ഒരു പ്ലാനാർ ഗ്രാഫിന്റെ ശീർഷങ്ങൾക്ക് നിറം കൊടുക്കാൻ നാല് നിറങ്ങളിൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമില്ല.
ചരിത്രം
[തിരുത്തുക]
1852-ൽ ഇംഗ്ലണ്ടിന്റെ കൗണ്ടികളുടെ ഭൂപടത്തിന് നിറം കൊടുക്കാൻ ശ്രമിക്കവേ ഇതിന് നാല് നിറങ്ങൾ മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ എന്ന കാര്യം ഫ്രാൻസിസ് ഗുഥ്‌രീയുടെ ശ്രദ്ധയിൽ പെട്ടു. ഇക്കാര്യം തന്റെ സഹോദരനും അഗസ്റ്റസ് ഡി മോർഗന്റെ വിദ്യാർത്ഥിയുമായ ഫ്രെഡറിക്കിനോട് അദ്ദേഹം ചൂണ്ടിക്കാട്ടി. ഫ്രെഡറിക്ക് ഈ പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ച് ഡി മോർഗനോട് പറയുകയും അദ്ദേഹം ഇതിന് പ്രശസ്തി നൽകുകയുമാണുണ്ടായത്.
ഇതിനു ശേഷം സിദ്ധാന്തം ശരിയെന്നും തെറ്റെന്നും തെളിയിക്കാൻ ഏറെ ഗണിതജ്ഞർ ശ്രമിച്ചു. രണ്ടുതരത്തിലും തെറ്റായ തെളിവുകൾ ഏറെ പുറത്തുവന്നു. 1890-ൽ പേഴ്സി ഹേവുഡ് ആണ് ഭൂപടത്തിന് നിറം കൊടുക്കാൻ അഞ്ച് നിറങ്ങൾ മതി എന്ന് തെളിയിക്കുക വഴി (അഞ്ചുനിറസിദ്ധാന്തം) ഒരു പ്രധാന കാൽവെയ്പ്പു നടത്തിയത്.
ഇതിനുശേഷം ദശകങ്ങൾ കഴിഞ്ഞ് 1976-ൽ കെന്നെത് അപ്പെൽ, വുൾഫ്ഗാങ് ആക്കെൻ എന്നിവർ ചേർന്നാണ് സിദ്ധാന്തം പൂർണ്ണമായി തെളിയിച്ചത്. 1936 ഭൂപടങ്ങളടങ്ങിയ ഒരു സവിശേഷ ഗണം കണ്ടുപിടിക്കുകയാണ് അവർ ചെയ്തത്. ഈ ഭൂപടങ്ങളുടെ പ്രത്യേകതയെന്തെന്നാൽ:
- നാലിൽക്കൂടുതൽ നിറങ്ങൾ ആവശ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ ഭൂപടത്തിന്റെ ഭാഗമായി ഈ 1936 ഭൂപടങ്ങളിൽ ഒന്നും വരില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാൻ സാധിക്കും
- ഏതൊരു ഭൂപടത്തിന്റെയും ഭാഗമായി ഈ ഭൂപടങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും വരേണ്ടതുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാൻ സാധിക്കും
അതിനാൽ, നാല് നിറങ്ങളിൽ കൂടുതൽ ആവശ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ ഭൂപടത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം ഒരേ സമയം ഈ ഗണത്തിൽ ഉണ്ടെന്നും ഇല്ലെന്നും വരുന്നു. ഇത് സാധ്യമല്ലാത്തതിനാൽ അത്തരം ഒരു ഭൂപടമില്ലെന്നും ഏത് ഭൂപടവും നാല് നിറങ്ങൾ മാത്രമുപയോഗിച്ച് നിറം കൊടുക്കാമെന്നും വരുന്നു.
ഭൂപടങ്ങളുടെ ഗണത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ സവിശേഷത കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ചും രണ്ടാമത്തെ സവിശേഷത നൂറു കണക്കിന് പേജുകളെടുത്ത് സ്വന്തമായി ചെയ്തുമാണ് അപ്പെലും ആക്കെനും സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചത്. കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ആദ്യ പ്രധാന സിദ്ധാന്തമായിരുന്നു ഇത്. കമ്പ്യൂട്ടർ സഹായത്തോടെയുള്ള പ്രൂഫ് ശരിയോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് വിഷമമേറിയ ജോലിയായതിനാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തുടക്കത്തിൽ ഈ തെളിവിനെ അംഗീകരിച്ചിരുന്നില്ല. എങ്കിലും ഇന്ന് ഇത് ഏതാണ്ട് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.