Teorem binomial

Dalam algebra permulaan, teorem binomial (atau pengembangan binomial) menerangkan pengembangan algebra bagi kuasa suatu binomial. Menurut teorem ini, adalah mungkin untuk mengembangkan polinomial (x + y)ⁿ kepada hasil tambah yang melibatkan sebutan bagi bentuk ax^by^c, di mana eksponen b dan c ialah integer bukan negatif dengan b + c = n, dan pekali a bagi setiap sebutan ialah integer positif tertentu yang bergantung pada n dan b. Contohnya, untuk n = 4, $$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$$

Pekali a dalam sebutan ax^by^c dikenali sebagai pekali binomial ${\tbinom {n}{b}}$ atau ${\tbinom {n}{c}}$ (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama). Pekali-pekali ini untuk n dan b yang berbeza boleh disusun bagi membentuk segi tiga Pascal. Nombor-nombor ini juga berlaku dalam kombinatorik, di mana ${\tbinom {n}{b}}$ memberikan bilangan gabungan berbeza bagi unsur b yang boleh dipilih daripada set unsur n. Oleh itu, ${\tbinom {n}{b}}$ sering kali disebut sebagai "n memilih b".

Pernyataan

Menurut teorem binomial, adalah mungkin untuk mengembangkan kuasa integer bukan negattif bagi x + y kepada suatu hasli tambah bagi bentuk $$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},$$ di mana $n\geq 0$ merupakan suatu integer dan setiap ${\tbinom {n}{k}}$ adalah suatu integer positif yang dikenali sebagai pekali binomial. (Apabila eksponen adalah sifar, ungkapan kuasa yang sepadan diambil sebagai 1 dan faktor pendaraban ini sering diabaikan daripada sebutan. Oleh itu seseorang sering melihat sisi sebelah kanan ditulis sebagai ${\textstyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\cdots }$.) Rumus ini juga dirujuk sebagai rumus binomial atau identiti binomial. Menggunakan tatatanda penghasiltambahan, ia boleh ditulis sebagai $$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$$ Ungkapan terakhir mengikuti dari yang sebelumnya dengan simetri bagi x dan y dalam ungkapan pertama, dan sebagai perbandingan, jujukan pekali binomial dalam rumus adalah simetri. Suatu varian ringkas rumus binomial diperoleh dengan menggantikan 1 untuk y supaya ia hanya melibatkan satu pemboleh ubah. Dalam bentuk ini, rumus itu dibaca $$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},$$ atau secara setara $$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k},$$ atau lebih tersurat $$(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\cdots +nx^{n-1}+x^{n}.$$