Reeks (wiskunde)

Oneindige reeks of kortweg reeks is in de wiskunde een oudere, ten dele door 'rij' vervangen, naam voor: een oneindige rij met getallen^[1] als termen.
"Reeks" heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal'^[2], 'reeksontwikkeling van een functie', 'taylorreeks', 'fourierreeks', 'machtreeks' en 'binomiaalreeks'; bij veel auteurs ook in andere situaties waarin de partieelsommenrij en/of de eventuele som van zo'n getallenrij beschouwd wordt.
De dubbele betekenis van 'convergent' en 'convergeren' ^[3] leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.

De studie van reeksen/rijen had aanvankelijk (18e eeuw) als hoofddoel het vinden van willekeurig scherpe rationale benaderingen voor de waarde van niet-rationale grootheden, en wel door opsplitsing in oneindig veel (snel genoeg klein wordende) breuk-getallen.

Onregelmatig woordgebruik

'Convergente (termconvergente) rij' naast 'convergente (somconvergente) reeks'

Het gangbare taalgebruik, ook buiten het Nederlands^[4], maakt betekenisverschil tussen enerzijds 'convergente rij' (soms: 'convergerende rij' ) en anderzijds 'convergente reeks' (soms: 'convergerende reeks' ) .
In deze combinaties gaat het bij het woord 'rij' om het convergeren van de aparte termen ( ${\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}$ ), en bij het woord 'reeks' om het convergeren van de samengenomen termen (de partiële sommen ${\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}$ ).
Ofwel: 'rij' + 'convergent' duidt op een termlimiet, en 'reeks' + 'convergent' op een somlimiet.

'Sommeerbare rij' naast 'sommeerbare reeks'

Vanaf het midden van de 20e eeuw wordt een rij waarvan de partieelsommem convergeren, ook "sommeerbare rij " genoemd. Het woord 'convergent' komt bij die auteurs uitsluitend voor in de combinatie 'convergente rij'.

'Sommeerbare reeks' komt al eerder voor, als benaming voor een getallenrij waarvan de partieelsommen geen limiet hebben maar waar de een of andere alternatieve 'sommatiemethode' wel tot een limiet leidt: Cesàro-sommeerbaar, Abel-sommeerbaar, Borel-sommeerbaar en andere.^[5]

'Komma-notatie' naast 'plusteken-notatie'

Voor schriftelijke notaties geldt het volgende:
Als een oneindige getallenrij 'rij' genoemd wordt, is gebruikelijk^[6]:
$\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots \quad \ \$ of $\quad t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,\cdots ,\,t_{n},\,\cdots \quad \quad$ of $\quad (t_{n})_{n=1,2,\cdots }$
en als een oneindige getallenrij 'reeks' genoemd wordt:
$\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \quad$ of $\quad t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \quad$ of $\quad \Sigma \,t_{n}\,$ .

Meerduidige formulevormen

De vorm ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}$ (of ${\textstyle \,\sum _{n=1,2,\cdots }t_{n}\,}$ of $\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3}{+}\cdots \,$ of $\ t_{1}{+}t_{2}{+}\cdots {+}t_{n}{+}\cdots \,$ ) kan drie dingen betekenen:
(1) de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (2) de somrij (rij van partiële sommen) van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\,}$ , (3) de limiet van de somrij van de rij ${\textstyle \,(t_{n})\ }$ .

Voorbeeld:

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

indien

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

convergeert

staat voor

het getal

{\textstyle \,\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\cdots \,}

indien de rij

{\textstyle \,t_{1},\ t_{1}{+}t_{2},\ t_{1}{+}t_{2}{+}t_{3},\,\cdots \,}

convergeert

en met de haakjes-notatie voor rijen

het getal

{\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}\,}

is de som van de rij

{\textstyle \,(t_{n})_{n}\,}

indien de rij

{\textstyle \,(\sum _{n=1}^{k}t_{n})_{k}\,}

convergeert.

Absolute sommeerbaarheid van een rij, absolute convergentie van een reeks

Een getallenrij/reeks (algemene term ${\textstyle t_{n}}$ ) waarvoor geldt dat de rij ${\textstyle \,|t_{1}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|,\ |t_{1}|{+}|t_{2}|{+}|t_{3}|,\,\cdots \,}$ een limiet heeft, wordt traditioneel een absoluut convergente reeks genoemd; meer recent ook wel een absoluut sommeerbare rij. Een dergelijke rij is zelf eveneens sommeerbaar en de som blijft onveranderd onder welke permutatie van de termen dan ook.

Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij

In combinatie met "de termen van de . . ." of met "de som van de . . ." maakt "rij met algemene term tn" dan wel "reeks met algemene term tn" geen verschil in betekenis. Hetzelfde geldt voor "de partieelsommen van de . . ." , "de somrij van de . . ." , "het somhebbend zijn van de . . ." .

In combinatie met "de limiet van de . . ." wordt voornamelijk "rij" gebruikt. Want bij "reeks" kan er twijfel zijn of het om de limiet van de termen of om de limiet van de partieelsommen gaat, een duidelijke conventie op dit punt ontbreekt.

Cauchyproduct van twee rijen/reeksen. Stelling van Mertens

Onder het cauchyproduct van een rij/reeks met algemene term ${\textstyle a_{n}}$ en een rij/reeks met algemene term ${\textstyle b_{n}}$ , verstaat men de rij/reeks met algemene term ${\textstyle \,a_{1}b_{n}{+}a_{2}b_{n-1}{+}\cdots {+}a_{n}b_{1}\,}$ .
Stelling van Mertens: Als van twee rijen/reeksen de ene het getal A als som heeft en de andere het getal B, en (minstens) een van beide is absoluut sommeerbaar / absoluut convergent, dan heeft het cauchyproduct van die rijen het getal A×B als som.

Vroeger anders

Voor een rij met een termen-limiet waren tot rond het eind van de 19e eeuw de benamingen 'convergente rij', 'convergent sequence', 'convergente Folge', niet gebruikelijk (het Franse 'suite convergente' komt in deze betekenis wel al wat eerder voor). Men sprak - zoals ook nu nog - van "het naar een limiet streven van de termen" of ook van "het naar een limietwaarde convergeren" van de termen.

Tot in het begin van de 19e eeuw komt 'convergente (convergerende) reeks' voor als aanduiding voor een rij getallen met 0 als limiet, een nulrij. Gauss heeft expliciet gewezen op het meerduidige gebruik van 'convergente reeks'.^[7]

In het verleden werd met 'sommeerbare reeks' en 'niet-sommeerbare reeks' ook wel het al dan niet bestaan van een 'gesloten vorm' voor de partieelsommen-limiet bedoeld. Waarbij het gesloten vorm geleidelijk aan een ruimere interpretatie kreeg.

Grote variatie in beschrijvingen van wat met "oneindige reeks" bedoeld kan zijn

De geleidelijke, eind 19e eeuw begonnen, betekenisverschuiving van de woorden "convergent" en "convergeren" - van somlimiethebbend naar termlimiethebbend - heeft geleid tot een enorme verscheidenheid aan pogingen om 'de' betekenis van de aanduiding "oneindige reeks" vast te leggen. De volgende varianten zijn het vaakst in de (leerboeken-)literatuur te vinden:
- een vorm met een aanduiding van een oneindige getallenrij en met optel-tekens en enzovoort-puntjes (maar zo'n 'reeksvorm' kan zelf niet convergent of divergent zijn);
- een rij met als termen de partieelsommen van z’n verschilrij (maar dat geldt voor élke rij);
- een termenrij in combinatie met z’n partieelsommenrij (de door de Bourbaki-groep in 1942 bedachte rij-somrij-koppels, séries genaamd, hebben als enige doel de twee betekenissen van "convergent" te scheiden).

Literatuur

Encyclopédie de Diderot et d'Alembert, 1751-1772. Voor het uitgebreide lemma 'SÉRIE ou SUITE', geschreven door Jean le Rond d'Alembert, zie tome XV (1765) blz. 93. Een becommentarieerde versie staat hier.
M.J. Belinfante, Bijvoegsel van het NTvW, 1925 jrg. 1 - 4, blz. 142-160 (Convergentie en som van oneindige Reeksen)
E.J. Dijksterhuis, Bijvoegsel van het NTvW, 1927 jrg. 3 - 3/4, blz. 92-101 (over reeksen: blz. 98-101)
P.G.J. Vredenduin, Euclides, 1959 jrg. 35 - 2, blz. 49-78 (over reeksen: blz. 57-59)
P.G.J. Vredenduin, F. van der Blij, Euclides, 1967 jrg. 43 - 1, blz. 22-23 (Korrel CXL Rij en reeks)
A. Van Rooij, Nieuw Archief voor Wiskunde vijfde serie, 2009 jrg. 10 - 1, blz. 62-63 (rubriek De derde wet)
'Reeks'-loze analyseboeken (zonder de traditionele naam 'reeks' voor een rij in sommatie-contexten)
- A. van Rooij, Analyse voor Beginners, 1e druk 1986, Epsilon uitgave nr. 6 (par. 8: Sommatie)
- B. Kaper, H. Norde, Inleiding in de analyse, 1e druk 1996, Academic Service (par. 11: Sommeerbaarheid van een rij)
Mathematics Educators Stack Exchange (Vragen over de didactiek rond 'reeksen'.)
- How can I teach my students the difference between a sequence and a series? maart 2014
- For calculus students, what should be the intuition or motivation behind series? april 2014
- Whats the difference between a series and sequence? mei 2016
Les Mathématiques net, 2011, forumdiscussie over de Definition de la notion de série numérique .

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies
↑ Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .
↑ (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; en ook nog (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.
↑ Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.
↑ Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.
↑ Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.
↑ C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

[1] Behalve getallen ook andere optelbare elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies

[2] Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ . Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal.
Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij ${\textstyle \,(a_{n})\,}$ :
– kettingbreuk-voorstelling, als limiet van de 'getrapte breuken'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}1/(a_{2}{+}1/(\cdots {+}a_{n})/n\,}$
– oneindigproduct-voorstelling, als limiet van de 'partieelproducten'; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}\cdot a_{2}\cdot \,\cdots \,\cdot a_{n})\,}$
– cesàrosom-voorstelling, als limiet van de gemiddelde partieelsommen; in formule: ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,}$ .

[3] (1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; en ook nog (verouderd) de termen hebben 0 als limiet.

[4] Vertalingen van 'reeks' zijn: Frans série, Engels series, Duits Reihe. En van 'rij': série, series, Folge.

[5] Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.

[6] Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.

[7] C.F. Gauss, Werke, Band X Abteilung 1, 18??, blz. 400: "Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]