Betti-getal

In de algebraïsche topologie, een deelgebied van de wiskunde, is het Betti-getal van een topologische ruimte, in intuïtieve termen uitgelegd, onder andere het maximale aantal snedes die men kan maken zonder dat de ruimte in twee delen uiteenvalt. Dit aantal noemt men bijvoorbeeld het eerste Betti-getal. Er is een rij Betti-getallen gedefinieerd. De term "Betti-getal" is ingevoerd door Henri Poincaré, die hiermee Enrico Betti wilde eren.

Elk Betti-getal is of een natuurlijk getal of oneindig. Voor de gebruikelijkste ruimten, zoals compacte variëteiten, eindige simpliciale complexen of CW-complexen, bestaat de rij van Betti-getallen uit natuurlijke getallen, waarvan slechts eindig veel ongelijk aan 0.

Definitie

Voor de topologische ruimte X is het k-de Betti-getal b_k(X) voor een niet-negatief geheel getal k gedefinieerd als de rang van de Abelse groep H_k(X), de k-de homologiegroep van X.

Equivalent hiermee is de definitie van het k-de Betti-getal als de dimensie van de homologiegroep

$H_{k}(X;\mathbb {Q} )$,

als vectorruimte over $\mathbb {Q}$.

De universele coëfficiëntenstelling laat zien dat deze definities equivalent zijn.

De tweede vorm van de definitie leent zich voor generalisatie van het begrip Betti-getal door in plaats van de rationale getallen een willekeurig lichaam (veld) F toe te laten. Het k-de Betti-getal b_k(X,F) met coëfficiënten in F is dan gedefinieerd als de dimensie van de homologiegroep H_k(X,F) als vectorruimte over F.

Voorbeeld: het eerste Betti-getal in de grafentheorie

In de topologische grafentheorie is het eerste Betti-getal van een graaf G met n knopen, m zijden en k samenhangende componenten gelijk aan

$m-n+k$

Dit kan met behulp van volledige inductie naar het aantal zijden worden bewezen. Een nieuwe zijde doet ofwel het aantal 1-cykels toenemen ofwel het aantal samenhangende componenten afnemen.

Eigenschappen

De (rationale) Betti-getallen b_K(X) houden geen rekening met eventuele torsie in de homologiegroepen, maar Betti-getallen zijn zeer nuttige basis topologische invarianten. In de meest intuïtieve termen staan Betti-getallen toe het aantal gaten van verschillende dimensies te tellen. Voor een cirkel is het eerste Betti-getal 1. Voor een torus is het eerste Betti-getal het dubbele van het aantal gaten in deze torus.

In het geval van een eindig simpliciaal complex zijn de homologiegroepen H_k(X, Z) eindig-gegenereerd, en hebben dus een eindige rang. De groep is dus 0, wanneer k groter is dan de topdimensie van een simplex van X.

Voor een eindig CW-complex K hebben wij

$\chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,$

waar $\chi (K)$ de Euler-karakteristiek van K en enig veld F aanduidt.

Voor elke twee ruimtes X en Y hebben wij

$P_{(}X\times Y)=P_{X}P_{Y},\,$

waar P_X het Poincaré-polynoom van X aanduidt, (of meer in het algemeen, de Poincaré-reeksen voor oneindig-dimensionale ruimten), dat wil zeggen de voortbrengende functie van de Betti-getallen van X:

$P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots$,

zie stelling van Künneth.

Als X een n-dimensionale variëteit is, bestaat er onder voorwaarden, een gesloten en georiënteerde variéteit, zie Poincaré-dualiteit, een symmetrie die k en n-k voor elk k verwisselt:

$b_{k}(X)=b_{n-k}(X)$.

De afhankelijkheid van het veld F verloopt alleen via de karakteristiek. Als de homologiegroepen torsievrij zijn, zijn de Betti-getallen onafhankelijk van F. De connectie tussen p-torsie en de Betti-getallen voor de karakteristieke p, is voor p een priemgetal, wordt in detail gegeven door de universele coëfficiëntstelling.

Voorbeelden

1. De Betti-getalrij voor een cirkel is 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   het Poincaré-polynoom is

   $1+x\,$.

2. De Betti-getalrij voor een twee-torus is 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...;

   het Poincaré-polynoom is

   $(1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\,$.

3. De Betti-getalrij voor een drie-torus is 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   het Poincaré-polynoom is

   $(1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,$.

4. Op gelijkwaardige wijze geldt voor een n-torus,

   het Poincaré-polynoom is

   $(1+x)^{n}\,$ (door de stelling van Künneth), de Betti-getallen zijn dus de binomiale coëfficienten van het Poincaré-polynoom.