Kinetisk energi

I ei berg- og dalbane endrar potensiell energi seg til kinetisk energi i utforbakke. I oppoverbakke endrar kinetisk energi seg til potensiell energi.

Kinetisk energi eller rørsleenergi er energi ein lekam har når han er i rørsle. Kinetisk energi er definert som arbeidet som må til for å akselerere ein lekam med ein viss masse frå ein tilstand i ro til den noverande snøggleiken til lekamen. Når lekamen har fått denne energien gjennom akselerasjonen, så vil lekamen ha denne kinetiske energien heilt til farten vert endra, og dette er òg same energimengd som ein krev for å stoppe lekamen igjen.

Etymologi

Adjektivet «kinetisk» i lag med energi har sine røter i det greske ordet for «rørsle» (kinesis). Uttrykket kinetisk energi og arbeid og tydinga desse uttrykka har i dag vart først brukt på midten av 1800-talet. Tidlege artiklar om emnet finn ein i Du Calcul de l'Effet des Machines av Gaspard-Gustave Coriolis frå 1829, der han skildra noko av matematikken i kinetisk energi. William Thomson, seinare Lord Kelvin, har fått æra for å vere den første som brukte uttrykket kinetisk energi i 1849.

Introduksjon

Det finst fleire former for energi: Kjemisk energi, varme, elektromagnetisk stråling, potensiell energi, atomenergi, kvilenergi og kinetisk energi.

Desse energiformene kan ofte omformast til kvarandre. Ein kan best forstå kinetisk energi i døme der den kinetiske energien er omforma frå andre energiformer. Til dømes vil ein syklist bruke kjemisk energi som han får gjennom mat til å akselerere sykkelen til ein viss fart. Denne energien er vorte omforma til rørsleenergi, kalla kinetisk energi, men prosessen er ikkje totalt effektiv, og det vert òg produsert varme av syklisten.

Den kinetiske energien til sykkelen og syklisten i rørsle kan omformast til andre former. Til dømes kan syklisten møte ein stigning som er akkurat stor nok til at han kan trille til topps, slik at sykkelen står heilt i ro på toppen. Den kinetiske energien er då omforma til potensiell energi, som kan omformast tilbake til kinetisk energi ved å trille ned att på andre sida (sidan syklisten mistar noko av energien sin til friksjon, kan han aldri få tilbake all snøggleiken utan å trø. Merk at energien ikkje har forsvunne, men er omforma til ei anna form av friksjonen). Syklisten kan òg kople til ein dynamo til hjulet, som omformar noko av den kinetiske energien til elektrisk energi på veg ned. Sykkelen vil då ha mindre fart i botn av bakken sidan noko av energien er brukt til å lage elektrisk straum. Ein annan mogelegheit er å bruke bremsar, og i dette tilfellet vil den kinetiske energien omformast til varmeenergi gjennom friksjon.

Definisjon

Arbeidet som vert gjort når ein akselererer (eller bremsar) ein partikkel i løpet av eit infinitesimalt tidsinterval dt er gjeve ved:

$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot dm\mathbf {v} ={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)$

Sidan dette er den totalderiverte (altså partikkelen er berre avhengig av sluttilstanden, og ikkje korleis han kom der), kan vi integrere han og kalle resultatet kinetisk energi:

$E_{k}=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} ={\frac {mv^{2}}{2}}$

Denne likninga seier at den kinetiske energien (E_k) er lik integralet av prikkproduktet til snøggleiken (v) til ein lekam og den infinitesimale endringa av lekamen si rørslemengd (p). Ein tenkjer seg at lekamen byrjar utan kinetisk energi når den er i ro.

Relativistisk sett må vi endre uttrykket for lineær rørslemengd. Integrerer vi stykkevis får vi:

$E_{k}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})$

Husk at $\gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!$, slik at:

$E_{k}=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-v^{2}/c^{2}\right)=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{1/2}+C$

Og dermed:

$E_{k}=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-v^{2}/c^{2}\right)\right)+C=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)+C=m\gamma c^{2}+C\!$

Integreringskonstanten finn ein ved å observere at $\gamma =1\!$ når $\mathbf {v} =0$, slik at vi får den vanlege likninga:

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

Utrekningar

Det finst fleire metodar på å rekne ut den kinetiske energien til ein lekam. Valet er avhengig av snøggleiken eller storleiken til lekamen. Så lenge lekamen flyttar seg med ein snøggleik som er mykje mindre enn lysfarten, så kan ein bruke den newtonske (klassiske) mekanikken, men viss snøggleiken nærmar seg lysfarten (vanlegvis høgare enn 10 % av lysfarten), så må ein bruke den relativistiske mekanikken. Når storleiken til lekamen er mindre enn eit atom bør ein bruke kvantemekanikk.

Klassisk

I klassisk mekanikk er den kinetiske energien til ein «punktlekam» (ein lekam som er så liten at ein kan sjå bort frå storleiken) gjeven ved likninga $E_{k}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}$ der m er massen og v er snøggleiken til lekamen.

Til dømes — ein kan rekne ut den kinetiske energien til ein lekam med masse på 80 kg og ein fart på 18 m/s som ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot 80\cdot 18^{2}=12,960$ Joule.

Merk at den kinetiske energien aukar med kvadratet av snøggleiken. Dette betyr til dømes at om ein reiser dobbelt så fort, vil ein ha fire gonger så mykje kinetisk energi. Som følgje av dette vil ein bil som køyrer dobbelt så fort ha ei bremselengd som er fire gonger lengre for å stoppe.

Så for ikkje-relativistisk mekanikk kan den kinetiske energien reknast ut ved hjelp av likninga:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Det er av og til nyttig å dele den totale kinetiske energien til ein lekam inn i summen av den kinetiske translasjonsenergien for lekamen sitt massesenter og rotasjonsenergien til lekamen rundt massesenteret:

$E_{k}=E_{t}+E_{r}\,$

der:

E_k er total kinetisk energi

E_t er kinetisk translasjonsenergi

E_r er rotasjonsenergi

Den kinetiske translasjonsenergien til ein lekam med konstant masse m, der massesenteret flyttar seg langs ei rett linje med fart v, er lik

$E_{t}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}$

Viss ein lekam roterer er rotasjonsenergien rett og slett summen av den kinetiske energien til kvar del av lekamen som er i rørsle, og er lik:

$E_{r}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}I\omega ^{2}$

der:

I er lekamen si tregleiksrørsle

ω er lekamen sin vinkelfart.

Tregleiksrørsla må vere rundt ein akse gjennom massesenteret og rotasjonen ω må vere rundt denne aksen. Den kinetiske energien til eit system avheng av tregleikssystemet. Han er lågast med omsyn på massesenteret, t.d. i eit referansesystem der massesenteret er stasjonært. I eit anna referansesystem vil den kinetiske energien ein får i tillegg vere gjeven av den totale massen og farten til massesenteret.

Altså er kinetisk energi eit relativt mål, og ingen lekamar har ein unik kinetisk energi. Ein rakettmotor kan overføre energien sin til raketten eller til eksosstraumen avhengig av kva referansesystem ein vel, men den totale energien til systemet, t.d. kinetisk energi, kjemisk energi frå brennstoffet, varmeenergi osv, vil vere bevart uavhengig av referansesystemet.

Den kinetiske energien til ein lekam er gjeven ved rørslemengda gjennom likninga:

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

Relativistisk

For å rekne ut den kinetiske energien i relativistisk mekanikk, kan ein bruke relativitetsteorien som Albert Einstein brukte for å rekne ut kinetisk energi for lekamar med snøggleik som nærmar seg lysfarten:

For ein relativistisk lekam er rørslemengda p lik:

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$,

der m er kvilemassen, v er farten til lekamen, og c er lysfarten i vakuum.

Arbeidet som vert gjort for å akselerere den relativistiske lekamen er då:

$E_{k}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}$.

Likninga over viser at energien til ein lekam går mot uendeleg når farten v nærmar seg lysfarten c, og det er derfor umogeleg for ein lekam å krysse denne grensa.

Det matematiske biproduktet til denne utrekninga er Einstein si vidkjente likning — ein lekam som er i ro må ha ein energi som er lik:

$E_{\text{kvile}}=mc^{2}\!$

Når lekamen har liten fart (v mykje mindre enn c), så vert den relativistiske kinetiske energien tilnærma lik den klassiske kinetiske energien. Ved å bruke Taylors ekspansjon for kvadratrota, og held på dei to første ledda får vi:

$E_{k}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}$,

Så den totale energien E kan delast opp i energien til kvilemassen pluss den tradisjonelle newtonske kinetiske energien ved låg fart.

Når lekamar flyttar seg med fart som er mykje mindre enn lysfarten, vil dei to første ledda i uttrykket dominere. Det neste leddet i tilnærminga er lite når farten er liten, og ein kan finne dette ved å utvide ekspansjonen i ein Taylorserie med eitt ledd til:

$E\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}\right)=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}$.

Til dømes, for ein snøggleik på 10 km/s er er korreksjonen til newtonsk kinetisk energi lik 0,07 J/kg (med ein newtonsk kinetisk energi på 50 MJ/kg) og for ein fart på 100 km/s er han 710 J/kg (med ein newtonsk kinetisk energi på 5 GJ/kg).

For større fart får ein likninga for den relativistiske kinetiske energien ved å rett og slett subtrahere kvilemasseenergien frå den totale energien:

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-1\right)$.

Forholdet mellom kinetisk energi og rørslemengd er meir komplisert i dette tilfellet, og er gjeve ved likninga:

$E_{k}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$.

Denne kan òg utvidast som ein Taylorserie, der det første leddet vil vere det enkle uttrykket frå newtonsk mekanikk.

Dette tyder at formlane for energi og rørslemengd ikkje er spesielle og umiddelbart innlysande, men heller konsept som oppstår frå likninga for masse med energi og relativitetsprinsippet.

Kvantemekanisk

I kvantemekanikk er den forventa verdien av den kinetiske energien til eit elektron, $\langle {\hat {T}}\rangle$, for eit system av elektron skildra av bølgjefunksjonen $\vert \psi \rangle$, ein sum av forventa verdiar av 1-elektronoperatorar:

$\langle {\hat {T}}\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{\bigg \langle }\psi {\bigg \vert }\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}{\bigg \vert }\psi {\bigg \rangle }$

der $m_{e}$ er elektronmassen og $\nabla _{i}^{2}$ er Laplaceoperatoren som virkar på koordinatane til det i-te elektronet og summen av alle elektrona. Merk at dette er den kvantifiserte utgåva av det ikkje-relativistiske uttrykket for kinetisk energi uttrykt ved rørslemengd:

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

Tettleiksfunksjonsformalismen til kvantemekanikk krev at ein berre veit elektrontettleiken, t.d. krev ein ikkje kjennskap til bølgjefunksjonen. Viss ein har elektrontettleiken $\rho (\mathbf {r} )$, er den nøyaktige kinetiske energien til N elektron ukjend, men for eit system med berre eitt elektron kan den kinetiske energien skrivast:

$T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r$

der $T[\rho ]$ vert kalla Von Weizsacker kinetisk energi-funksjon.

Nokre døme

Romfartøy brukar kjemisk energi til å ta av, og får mykje kinetisk energi ved å nå omlaupssnøggleiken. Denne kinetiske energien vil halde seg konstant medan romfartøyet er i omlaup, fordi det nesten ikkje er noko friksjon. Ein merkar derimot den kinetiske energien når romfartøyet skal ned att som varme.

Kinetisk energi kan overførast frå ein lekam til ein annan. I spelet biljard gjev spelaren kinetisk energi til den kvite kula ved å slå den med biljardkøen. Viss kula treffer ei anna kule, vil ho bremse ned medan kula ho treffer vil akselerere sidan den kinetiske energien vart overført. Kollisjonar i biljard er effektive elastiske kollisjonar der det meste av den kinetiske energien er bevart.

Sjå òg

• Rekyl
• Joule
• Potensiell energi

Kjelder

• Serway, Raymond A. og Jewett, John W. - Physics for Scientists and Engineers, 6th ed. - Brooks/Cole (2004) ISBN 0-534-40842-7
• Tipler, Paul - Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics, 5th ed. - W. H. Freeman (2004) ISBN 0-7167-0809-4
• Tipler, Paul og Llewellyn, Ralph - Modern Physics, 4th ed. - W. H. Freeman (2002) ISBN 0-7167-4345-0
• Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843)
• Oxford Dictionary, 1998