Bohr-Sommerfeld-kvantisering

Bohr-Sommerfeld-kvantisering er navnet på den første metoden som ble brukt i atomfysikken for å forklare egenskapene til atomene. Den ble innført i 1913 av Niels Bohr som benyttet den i sin atommodell. Snart ble metoden utvidet til å kvantisere alle system i klassisk fysikk. Høydepunktet av dens anvendelser oppnådde Arnold Sommerfeld i 1916 ved å gi en kvantitativ teori for finstrukturen i hydrogenatomet og tilsvarende egenskaper ved karakteristisk røntgenstråling.

Typiske baner for elektronet i hydrogenatomet beregnet ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering og angitt ved kvantetallene (n,k).

Metoden besto i å pålegge den klassiske bevegelsen til systemet visse «kvantebetingelser» som valgte ut noen bestemte baner. Disse betingelsene kunne elegant formuleres ved bruk av Hamilton-mekanikk. Da Coulombs lov for den elektriske kraften som holder elektronet på plass i atomet har samme form som Newtons gravitasjonslov som styrer planetene i deres baner rundt Solen, kunne mange, avanserte metoder fra himmelmekanikken tas over til atomfysikken. Men etter hvert viste metoden seg likevel å ikke kunne gi en detaljert forklaring av egenskapene til mer kompliserte system som heliumatomet og hydrogenmolekylet.

Etter etableringen av kvantemekanikken i 1925 omtales Bohr-Sommerfeld-kvantisering som halvklassisk kvanteteori. Den kan forstås som et resultat av denne moderne kvanteteorien i det som kalles WKB-approksimasjonen. Denne gjør det mulig å systematisk beregne kvantekorreksjoner til den klassiske bevegelsen og har fremdeles mange praktiske og viktige anvendelsesområder.

Matematisk formulering

I den opprinnelig formuleringen av Bohrs atommodell går elektronet i hydrogenatomet rundt atomkjernen i en sirkulær bane som er bestemt ved kvantebetingelsen at dreieimpulsen p_φ  skal være et helt multiplum av den reduserte Planck-konstanten ħ. Det tilsvarer lovmessigheten

$p_{\phi }=n\hbar$

hvor kvantetallet n  tar verdiene 1, 2, 3, ... og så videre.

Den tyske fysiker Arnold Sommerfeld generaliserte i 1916 denne kvantiseringen ved å postulere at en tilsvarende kvantebetingelse skulle gjelde for alle tre komponentene av impulsen til elektronet under en vilkårlig bevegelse i en lukket bane. Man må da benytte koordinater slik at bevegelsen er periodisk i hver av dem. Kalles disse for q_k  og de tilsvarende, kanoniske impulsene p_k , skal kvantebetingelsene være

$\oint \!p_{k}dq_{k}=n_{k}h$

hvor indeksen k i alminnelighet tar like mange verdier som antall dimensjoner partikkelen beveger seg i. For et elektron i et atom får man derfor tre tilsvarende kvantetall n_k. Den engelske fysiker Willian Wilson hadde omtrent samtidig med Sommerfeld foreslått og benyttet samme kvantisering.

Hvis man betrakter den asimutale vinkelen φ som beskriver elektronets posisjon i banen, vil den forandre seg med 2π  under en lukket bevegelse. Hvis i tillegg den konjugerte komponenten p_φ  er konstant, gir integralet 2π p_φ  som igjen fører til de samme, kvantiserte verdiene som Bohr benyttet.

Knapt ti år senere kunne Louis de Broglie med sin teori for materiebølger forklare denne kvantebetingelsen. Utfra Einsteins beskrivelse av fotonet som både partikkel og bølge, postulerte de Broglie at også elektronet kan tilordnes en bølgelengde λ = h/mv  når det har en bevegelsesmengde mv  og h er den vanlige Planck-konstanten h = 2π ħ. For elektronet i en sirkelbane med radius r  må omkretsen 2π r være et helt multiplum av dets bølgelengde for at bølgen ikke skal slette seg selv ut, det vil si at

$2\pi r=n\lambda$

Men da elektronets dreieimpuls p_φ = r⋅mv, følger det med en gang at p_φ = nħ.

Dette argumentet lot seg først generalisere noen få år senere ved betraktninger basert på Schrödinger-ligningen for bølgefunksjonen i grensen der Plancks konstant ħ → 0. Dette gir en beskrivelse som bygger på den klassiske, men inneholder de viktigste, kvantemekaniske effektene og kalles for WKB-approksimasjonen. I optikken tilsvarer den å beskrive lysets gang ved geometrisk optikk i stedet for utbredelse av bølger.

Enkle eksempel

Potensialet V som virker på partikkelen, er uendelig stort utenfor e endelig strekning med lengde L og null innenfor.

Man tenker seg en partikkel med masse m som kun kan bevege seg i en dimensjon og er innestengt av et uendelig sterkt potensial innen et endelig område med utstrekning L. Her kan den bevege seg fritt med en viss impuls p. Klassisk har partikkelen da energien

$E={p^{2} \over 2m}$

Ved valg av koordinatsystem kan origo på x-aksen være plassert slik at potensialet V = 0 i området 0 < x < L. Da vil partikkelen når den beveger seg til høyre og treffer potensialet i x = L, møte en uendelig sterk kraft som reflekterer den tilbake med impulsen -p. Det samme skjer når den så treffer det uendelige potensialet igjen i punktet x = 0. En klassisk, lukket bane er derfor bevegelsen fra x = 0, frem til x = L og tilbake til x = 0 med impulsen p = √(2mE). Banen kan også ha et vilkårlig, annet begynnelsespunkt, men vil alltid ha lengde 2L.

Denne klassiske bevegelsen kan nå kvantiteres ved å pålegge den Bohr-Sommerfelds kvantebetingelse

$2\int _{0}^{L}\!p\,dx=nh$

hvor kvantetallet n = 1, 2, 3, ... . Siden p her er konstant, følger dermed at p = nh/2L. = nπħ/L. Energien til partikkelen kan derfor kun ta de kvantiserte verdiene

$E_{n}={\pi ^{2}\hbar ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}$

I dette enkle eksemplet stemmer dette resultatet eksakt med hva man finner fra løsningen av Schrödinger-ligningen.

Lineært potensial

Partikkelen kan bevege seg i langs x-aksen innen et lineært potensial V = mgx skissert i blått. Den røde kurven illustrerer en typisk, kvantemekanisk bølgefunksjon.

Et mer komplisert problem oppstår når det endimensjonale potensialet V  ikke plutselig øker fra null til uendelig når x blir større, men øker jevnt. Da har det den matematiske formen V = mgx  når x > 0 og er uendelig stort når x < 0. Dette tilsvarer at partikkelen i dette området er utsatt for en konstant kraft F = mg. Mens et slikt system i klassisk mekanikk er et enkelt problem, er den kvantemekaniske beskrivelsen derimot mer vanskelig.

For positive x er partikkelens klassiske impuls bestemt ved dens totale energi

$E={p^{2} \over 2m}+V(x)$

Når den beveger seg mot potensialet, vil dens impuls avta til den når et punkt x = b  hvor p = 0. Det vil si b = E/mg  slik at kvantebetingelsen for en lukket bane frem og tilbake blir

$2\int _{0}^{b}\!dx{\sqrt {2m(E-V)}}=2{\sqrt {2mE}}\int _{0}^{b}\!dx{\sqrt {1-x/b}}=nh$

Integralet er elementært med verdien 2b/3  slik at de kvantiserte energiene blir

$E_{n}=\left({3hgmn \over 4{\sqrt {2m}}}\right)^{2/3}$

Det er interessant å sammenligne denne halvklassiske beregningen med den eksakte løsningen av Schrödinger-ligningen. Man finner da egenverdiene for energien som kan skrives på formen

$E_{n}=mga\,\xi _{n}$

hvor avstanden $a=(\hbar ^{2}\!/2gm^{2})^{1/3}$ og ξ_n  er de negative nullpunktene til Airy-funksjonen. De tre første er 2.34, 4.09 og 5.52.. Siden resultatet for energiene som følger fra Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen kan skrives på formen

$E_{n}=mga\left({3\pi n \over 2}\right)^{2/3}$,

har man dermed en approksimativ formel for disse nullpunktene. For de tre første med n = 1, 2 og 3 gir den 2.81, 4.46 og 5.84 som er nærmere enn 10 % av de eksakte verdiene. Nøyaktigheten øker med økende n og er asymptotisk korrekt. Med unntak av noen få, spesielle tilfeller er dette typisk for denne og andre halvklassiske metoder i kvantemekanikken. Nøyaktigheten blir bedre desto større kvantetallene er. Man beveger seg da inn i det området hvor vanlig, klassisk mekanikk dominerer i overensstemmelse med Bohrs korrespondanseprinsipp..

Nøyaktigheten kan også gjøres bedre ved å benytte WKB-approksimasjonen. Den inkluderer kvantemekaniske korreksjoner nær det klassiske vendepunktet x = b. Resultatet er at kvantetallet n i dette tilfellet erstattes med n - 1/4. Dette reduserer de beregnede, laveste energiene med et beløp som gir bedre overensstemmelse med de eksakte verdiene.

Harmonisk oscillator

En partikkel som kan bevege seg i en dimensjon og er utsatt for en kraft som øker proporsjonalt med avstanden til et likevektspunkt, er en harmonisk oscillator. Den vil bevege seg periodisk med tiden på en måte som alltid kan beskrives ved en enkel sinusfunksjon. Dette enkle systemet har stor betydning i klassisk fysikk, men kanskje enda større i kvantemekanikken. Ikke er det bare eksakt løsbart på forskjellige måter, man danner også grunnlaget for kvantiseringen av det elektromagnetiske feltet og mer generell kvantefeltteori.

Det mekaniske problemet i en dimensjon omhandler en partikkel med masse m som kan bevege seg langs x-aksen mot en kraft F = kx  som er null i likevektspunktet x = 0. Her er k kraftkonstanten. Det tilsvarer at den har en potensiell energi V = (1/2)kx² og derfor en total energi

$E={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}kx^{2}$

når den har impuls p. Denne blir null ved de to klassiske vendepunktene x = ± a hvor avstanden a = √(2E/k). En lukket bane til partikkelen tilsvarer da for eksempel en bevegelse fra x = - a frem til x = a og derfra tilbake til utgangspunktet. Det betyr at de Bohr-Sommerfeld-kvantiserte energiene er gitt ved betingelsen

$2\int _{-a}^{a}\!dx{\sqrt {2mE-kmx^{2}}}=nh$

Integralet kan omformes til

$2\cdot 2{\sqrt {2mE}}\int _{0}^{a}\!dx{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}=4{\sqrt {2mE}}\,{a\pi \over 4}=nh$

etter å ha innført u som ny integrasjonsvariabel definert ved x = a sinu. Herav kan de kvantiserte energiene finnes med resultatet

$E_{n}=\hbar \omega \,n,\;\;\;n=1,2,3,\ldots$

hvor ω = √(k/m) er egenfrekvensen til oscillatoren. Energinivåene har derfor alle samme avstand ħω. Dette er i overenstemmelse med det eksakte, kvantemekaniske resultatet,

$E_{n}=\hbar \omega (n+1/2),\;\;\;n=0,1,2,3,\ldots$

selv om de halvklassiske verdiene ligger alle over med en størrelse (1/2)ħω som tilsvarer «nullpunktsenergien» til den kvantiserte oscillatoren. For store verdier av kvantetallet n faller de to resultatene sammen.

Her skaper WKB-approksimasjonen bedre overenstemmelse også ved lave verdier av kvantetallet n. Da det harmoniske potensialet har to myke vendepunkt ± a, mens det lineære potensialet bare har ett, vil denne bedre approksimasjonen erstatte n med n - 1/2. Overensstemmelsen med de eksakte resultatene er da perfekt for alle verdier av n.

Lineær rotator

En lineær rotator (eller rotor) kan tenkes sammensatt av to masser m₁  og m₂  som holdes i en fast avstand R  fra hverandre. Dens posisjon i rommet kan da angis ved massesenteret pluss retningen (θ, φ) i kulekoordinater til aksen mellom massene. Dette systemet utgjør et klassisk tolegemeproblem som i massesenteret har den kinetiske energien

$E={1 \over 2}mR^{2}{\Big (}{\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}{\Big )}$

hvor m = m₁m₂/(m₁ + m₂) er den reduserte massen til rotatoren. I molekylfysikken benyttes denne modellen for å beskrive toatomige molekyl som CO eller med tre atom på en rett linje som CO₂. For en slik lineær massefordeling må da i alminnelighet faktoren mR²  erstattes med det tilsvarende treghetsmomentet I.

Plan rotasjon

Når rotasjonen foregår uten påvirkning av ytre dreiemoment, er rotatorens dreieimpuls konstant og står vinkelrett på det planet hvor massene beveger seg i. Man kan da velge et polarkoordinatsystem med z-akse langs rotasjonsaksen og en asimutal vinkel ψ  i planet som angir størrelsen til rotasjonen. Uttrykket for energien forenkles dermed til

$E={1 \over 2}I{\dot {\psi }}^{2}$

som fremkommer fra det generelle uttrykket ved å sette θ = π /2 og φ = ψ. Rotasjonsenergien har nå en kanonisk konjugert impuls $p_{\psi }=mR^{2}{\dot {\psi }}$ som er rotatorens totale dreieimpuls. Da energien er uavhengig av vinkelen ψ som varierer periodisk mellom 0 og 2π, er dette en bevegelseskonstant som direkte angir størrelsen til rotatorens energi,

$E={p_{\psi }^{2} \over 2I}$

Ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering av rotasjonen vil nå p_ψ⋅2π = nh. Det gir de tillatte verdiene p_ψ = nħ  slik at de kvantiserte energinivåene til rotatoren er

$E_{n}={\hbar ^{2} \over 2I}n^{2}$

hvor igjen kvantetallet n = 1, 2, 3, ... . Avstanden mellom to nabonivå øker proporsjonalt med n.

Rotasjon i rommet

Hvis rotatoren kan innta alle mulige retninger i rommet, er dens energi gitt ved kulekoordinatene (θ, φ). De konjugerte impulsene blir dermed $p_{\theta }=\partial E/\partial {\dot {\theta }}=I{\dot {\theta }}$ og $p_{\phi }=\partial E/\partial {\dot {\phi }}=I\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}.$ Uttrykket for energien kan da skrives som

$E={1 \over 2I}{\Big (}p_{\theta }^{2}+{p_{\phi }^{2} \over \sin ^{2}\theta }{\Big )}$

Denne kan nå kvantiseres ved de to Bohr-Sommerfeld-betingelsene

$\oint \!p_{\phi }d\phi =n_{\phi }h,\;\;\;\oint \!p_{\theta }d\theta =n_{\theta }h$

Da energien er uavhengig av den asimutale vinkelen φ, er impulskomponenten p_φ  konstant og har derfor de tillatte verdiene p_φ = n_φħ  for heltallige kvantetall n_φ.

Den andre impulskomponenten p_θ  er ikke konstant, men varierer med vinkelen θ. For en bestemt energi er den gitt ved

$p_{\theta }=\pm {\sqrt {2EI}}{\sqrt {1-p_{\phi }^{2}/2EI\sin ^{2}\theta }}$

hvor fortegnet er positivt halvparten av den periodiske banen og negativt ellers. Argumentet i kvadratroten må være positivt slik at den meridonale vinkelen θ må oppfylle kravet sinθ > p_φ/√(2EI). Den varierer derfor mellom en minimumsverdi θ_min  og en maksimalverdi θ_max. Kvantebetingelsen for denne variable tar dermed formen

$2{\sqrt {2EI}}\int _{\theta _{min}}^{\theta _{max}}\!d\theta {\sqrt {1-p_{\phi }^{2}/2EI\sin ^{2}\theta }}=2\pi {\sqrt {2EI}}{\Big (}1-{p_{\phi } \over {\sqrt {2EI}}}{\Big )}=n_{\theta }h$

som gir de kvantiserte energiene

$E_{n}={\hbar ^{2} \over 2I}(n_{\phi }+n_{\theta })^{2}$

Ved å sammenligne med resultatet som ble funnet når rotatoren befant seg i xy-planet, må man betrakte summen n = n_φ + n_θ  som hovedkvantetallet som karakteriserer den totale dreieimpulsen p_ψ. I dette mer generelle tilfellet er derfor impulsen p_φ  komponenten av denne på z-aksen.

Betrakter man den totale dreieimpulsen som en vektor, danner den i alminnelighet en vinkel β  med z-aksen gitt ved

$\cos \alpha ={p_{\phi } \over p_{\psi }}={n_{\phi } \over n_{\phi }+n_{\theta }}$

Man kommer derfor til det overraskende resultatet at dreieimpulsen kan bare innta noen bestemte, diskrete retninger i rommet gitt ved denne brøken. Dette ble kalt for «romkvantisering». Det var vanskelig å fatte da z-aksen i denne betraktningen er ganske vilkårlig og kan velges i hvilken som helst retning. Men hvis rotatoren hadde befunnet seg i et ytre magnetfelt, ville dette ha definert en spesiell akse. Som i Zeeman-effekten ville hvert energinivå da splittes opp og angis ved kvantetallet n_φ . Dette asimutale kvantetallet omtales derfor ofte som det magnetiske kvantetallet.

Ved bruk av moderne kvantemekanikk finner man at energien til rotatoren øker med hovedkvantetallet som n(n + 1) og er derfor i overensstemmelse med det halvklassiske resultatet n²  utledet her fra Bohr-Sommerfeld-kvantisering når kvantetallet blir tilstrekkelig stort. Man finner da også en romkvantisering av retningen til den totale dreieimpulsen. Men dette skaper nå ikke noen problem fordi en tilstand av rotatoren kvantisert i en bestemt retning, kan skrives som en superposisjon av tilstander hvor den er kvantisert i en vilkårlig annen retning.

Beregning av integral

Vinkelen θ  må oppfylle kravet sinθ > sinβ  hvor vinkelen β  er definert ved

${\sqrt {2EI}}\sin \beta ={p_{\phi } \over \sin \theta }$

Det betyr at minimumsverdien θ_min = β, mens maksimalverdien θ_max = π - β. Integralet som inngår i kvantiseringen av p_θ, kan skrives om slik at det blir

$J=\int _{\theta _{min}}^{\theta _{max}}\!d\theta (1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta )^{1/2}=\int _{\theta _{min}}^{\theta _{max}}\!d\theta {1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta \over (1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta )^{1/2}}$

På denne formen består det av to deler

$J_{1}=\int _{\theta _{min}}^{\theta _{max}}\!d\theta {1 \over (1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta )^{1/2}}$

$J_{2}=\int _{\theta _{min}}^{\theta _{max}}\!d\theta {\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta \over (1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta )^{1/2}}$

slik at hele integralet J = J₁ - J₂. Disse to kan nå beregnes ved et skifte av integrasjonsvariabel. I det første integralet definerer man en ny vinkel u ved sammenhengen sinu = cosθ/cosβ som gir

$du=-{d\theta \over (1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta )^{1/2}}$

Da integrasjonsgrensene θ_min  nå tilsvarer u = π /2 og θ_max  tilsvarer u = - π /2, blir

$J_{1}=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\!du=\pi$

I det andre integralet kan man på samme måte innføre en annen variabel v definert ved sinv = tanβ cotθ. Den har differensialet

$dv=-{\sin \beta \,d\theta \over \sin ^{2}\theta (1-\sin ^{2}\beta /\sin ^{2}\theta )^{1/2}}$

og de samme integrasjonsgrensene som u. Dermed finner man at

$J_{2}=\sin \beta \int _{-\pi /2}^{\pi /2}\!dv=\pi \sin \beta$

slik at J = π (1 - sinβ ). Det kan nå benyttes til å finne de kvantiserte energinivåene til rotatoren.

Hydrogenatomet

Ved bruk av kulekoordinater (r,θ,φ) i massesenteret for hydrogenatomet tar den kinetiske energien til elektronet formen

$K={m \over 2}{\Big (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\!\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}{\Big )}$

hvor m er den reduserte massen til elektronet i sin bevegelse rundt atomkjernen. Den skyldes Coulomb-kraften mellom disse to partiklene og beskrevet ved den potensielle energien V = -e²/4π ε₀r  når atomkjernen er et proton med elektrisk ladning +e. Siden denne kraften har samme matematiske form som Newtons gravitasjonslov, vil de bundne banene til elektronet i alminnelighet være ellipser på samme måte som for planetene i deres beveglse om Solen og beskrevet ved Keplers lover.

De kanoniske impulsene til elektronet er gitt som

$p_{r}={\partial K \over \partial {\dot {r}}}=m{\dot {r}},\;\;p_{\theta }={\partial K \over \partial {\dot {\theta }}}=mr^{2}{\dot {\theta }},\;\;p_{\phi }={\partial K \over \partial {\dot {\phi }}}=mr^{2}\!\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$

Uttrykt ved disse impulsene er dermed den totale energien til elektronet gitt som

$E={1 \over 2m}{\Big (}p_{r}^{2}+{p_{\theta }^{2} \over r^{2}}+{p_{\phi }^{2} \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\Big )}-{e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}$

Denne er konstant under bevegelsen. Men også p_φ  er en bevegelseskonstant da energien er uavhengig av den asimutale vinkelen φ. Bohr-Sommerfeld-kvantisering gir nå at den tar verdiene p_φ = n_φħ  for heltallige kvantetall n_φ. I tillegg ser man fra energiuttrykket at når alene vinkelen θ  varierer, må kombinasjonen

$p_{\theta }^{2}+{p_{\phi }^{2} \over \sin ^{2}\theta }\equiv p_{\psi }^{2}$

være en bevegelseskonstant uttrykt ved størrelsen p_ψ. Den representerer den totale dreieimpulsen for bevegelsen av elektronet, mens p_φ  angir projeksjonen av denne på z-aksen.

Kvantisering av den meridonale komponenten p_θ  gir nå kvantebetingelsen

$2\int _{\theta _{min}}^{\theta _{max}}\!d\theta {\sqrt {p_{\psi }^{2}-p_{\phi }^{2}/\sin ^{2}\theta }}=n_{\theta }h$

På venstre side opptrer det samme integralet som for den lineære rotatoren. Her gir det 2π (p_ψ - p_φ) som betyr at dreieimpulsen tar de kvantiserte verdiene

$p_{\psi }=(n_{\theta }+n_{\phi })\hbar$

Den radielle impulsen p_r  til elektronet kan nå finnes som en ren funksjon av avstanden r  fra atomkjernen,

$p_{r}=\pm {\sqrt {2mE+{2me^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}-{p_{\psi }^{2} \over r^{2}}}}$

Her beskriver det øverste fortegnet den del av Kepler-bevegelsen der radius øker fra en minimal avstand r_min  til en maksimal avstand r_max. Disse to vendepunktene tilsvarer at p_r = 0  og kan uttrykkes ved store a og lille halvakse b til ellipsen. De kan defineres ved

$a={me^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}(-2mE)},\;\;\;b={p_{\psi } \over {\sqrt {-2mE}}}$

slik at

$p_{r}=\pm {\sqrt {-2mE}}{\Big (}-1+{2a \over r}-{b^{2} \over r^{2}}{\Big )}^{1/2}$

Herav finnes vendepunktene som r_min = a - c  og r_max = a + c  hvor lengden c er gitt ved den vanlige sammenhengen a² = b² + c².

Bohr-Sommerfeld-kvantisering av den radielle bevegelsen gir nå

$2{\sqrt {-2mE}}\int _{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{\Big (}-1+{2a \over r}-{b^{2} \over r^{2}}{\Big )}^{1/2}=2\pi {\sqrt {-2mE}}(a-b)=n_{r}h$

hvor integralet kan beregnes på forskjellige måter. Resultatet for energinivåene i hydrogenatomet følger herav som

$E_{n}=-{m \over 2n^{2}}{\Big (}{e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}\hbar }{\Big )}^{2}$

etter å ha innført hovedkvantetallet n = n_ψ + n_r. Dette er i overensstemmelse med hva som følger fra den opprinnelige Bohrs atommodell hvor man skriver det asimutale kvantetallet k = n_ψ = 1,2,3, ... . Fra moderne kvantemekanikk følger det at k = ℓ + 1 hvor det orbitale kvantetallet tar verdiene ℓ = 0,1,2,... på samme måte som for det radielle kvantetallet n_r. Da har man for hovedkvantetallet n = ℓ + n_r + 1.

Beregning av integral

Det radielle integralet kan gjøres på forskjellige måter. Opprinnelig ble det beregnet av Sommerfeld ved integrasjon i det komplekse planet. Alternativt kan man splitte det opp som

$J=\int _{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{\Big (}-1+{2a \over r}-{b^{2} \over r^{2}}{\Big )}^{1/2}=\int _{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{2a-r-b^{2}/r \over {\sqrt {2ar-r^{2}-b^{2}}}}$

hvor hvert av de tre delintegralene kan utføres på mer konvensjonell måte. Defineres det første som

$J_{1}=\int _{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{a-r \over {\sqrt {2ar-r^{2}-b^{2}}}}$,

kan man innføre en ny integrasjonsvariabel definert ved å sette r = a + cs. Da vil r_min  tilsvare s = -1, mens r_max  fremkommer for s = 1. Det viser at

$J_{1}=c\int _{-1}^{1}\!ds{s \over {\sqrt {1-s^{2}}}}=0$

da integranden skifter foretegn under integrasjonen og derfor gir to bidrag som opphever hverandre.

I det andre integralet

$J_{2}=\int _{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{a \over {\sqrt {2ar-r^{2}-b^{2}}}}$

kan man skifte til en annen integrasjonsvariabel definert ved r = a + c cosu. Da vil r_min  tilsvare u = π , mens r_max  tilsvarer u = 0. Samtidig blir differensialet dr = - c sinu du hvor

$c\sin u={\sqrt {2ar-r^{2}-b^{2}}}$

Det betyr at J₂ = π a. På samme måte kan man i det tredje integralet

$J_{3}=\int _{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{b^{2}/r \over {\sqrt {2ar-r^{2}-b^{2}}}}$

skrive b²/r = a + c cosv  hvor nå r_min  fremkommer for v = 0&thinsp∞ og r_max  for v = π . Videre er

${b^{2} \over r^{2}}dr=c\sin vdv={b \over r}{\sqrt {2ar-r^{2}-b^{2}}}dv$

Dermed har man for det tredje integralet at J₃ = π b. Da hele det radielle integralet er J = J₁ + J₂ - J₃, har det verdien J = π (a - b).

WKB-approksimasjon

Typisk potensialbrønn som kan gi bundne tilstander av en partikkel. For bruk av WKB-approksimasjonen er x₁ og x₂ vendepunkt for tilstander med energi E.

Ved etableringen av moderne kvantemekanikk fikk man en bedre forståelse av den halvklassiske kvantiseringen til Bohr og Sommerfeld. Bevegelsen av en partikkel er da beskrevet ved Schrödinger-ligningen. Når den bare kan bevege seg i en dimensjon, kan man finne en tilnærmet løsning av denne ved det som nå kalles WKB-approksimasjonen.

Hvis partikkelen har en energi E og beveger seg i et potensial V(x), vil den da være beskrevet i et område hvor E > V(x) ved en bølgefunksjonen ψ(x) som tilnærmet antar en av formene

$\psi (x)={C \over {\sqrt {p(x)}}}e^{\pm {i \over \hbar }\int _{x_{0}}^{x}\!dx'p(x')}$

hvor C er en ukjent konstant, x₀ er en vilkårlig posisjon og

$p(x)={\sqrt {2m(E-V(x)}}$

kan betraktes som den klassiske impulsen til partikkelen. Denne varierer derfor med partikkelens posisjon. Punkt i potensialet der p = 0, kalles «vendepunkt» som partikkelen klassisk ikke kan bevege seg gjennom. De to approksimative løsningene representerer bølger som går til venstre og mot høyre i potensialet der E > V(x).

I en potensialbrønn vil der være to slike vendepunkt. Klassisk vil partikkelen bevege seg mot et av disse hvor den blir reflektert tilbake. Den vil deretter reflekteres på samme måte fra det andre vendepunktet og fortsette slik i en bunden tilstand. Kvantemekanisk vil det tilsvare at de to komplekse bølgene vil kombineres til en stående, reell bølge. Kalles vendepunktene for a og b, vil denne da i WKB-approksimasjonen kunne skrives som

$\psi (x)={C \over {\sqrt {p(x)}}}\cos {\Big (}{1 \over \hbar }\!\int _{a}^{x}\!dx'p(x'){\Big )}$

eller

$\psi (x)={C' \over {\sqrt {p(x)}}}\cos {\Big (}{1 \over \hbar }\!\int _{x}^{b}\!dx'p(x'){\Big )}$

hvor C'  er en annen, vilkårlig konstant. Men disse to uttrykkene må beskrive den samme bølgefunksjon i dette området mellom vendepunktene a og b. At det er mulig, kan man se ved å skrive den første integrasjonen som

$\psi (x)=\int _{a}^{x}\!dx'p(x')=\int _{a}^{b}\!dx'p(x')+\int _{b}^{x}\!dx'p(x')$

og benytte at den trigonometriske identiteten

$\cos(-\theta +n\pi )=(-1)^{n}\cos \theta$

der n er et positivt heltall. Det er oppfylt når konstantene i de to bølgefunksjonene er relatert ved C'  = (-1)ⁿC  sammen med kravet

$\int _{a}^{b}\!dx'p(x')=n\pi \hbar$

som definerer Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen.

Nær vendepunktene der p blir veldig liten, kan denne WKB-approksimasjonen gjøres mer nøyaktig. Et resultat av denne forbedringen er at heltall n kan få et tillegg på 1/4 eller 1/2 avhengig av rask overgangen er av potensialet inn i det klassisk forbudte området der E < V(x). Men generelt er approksimasjon mest nøyaktig for store verdier av dette kvantetallet slik at disse forbedringene har for det meste liten praktisk betydning.

Plass i historien

For etableringen av moderne kvantemekanikk i 1925 var Bohr-Sommerfeld-kvantisering ment å kunne forklare alle kvantefenomen som hadde med bevegelse av partikler i atomfysikken. Den var basert på de samme, matematiske lover som ble brukt i den klassiske himmelmekanikken for å forklare planetenes bevegelser. En komplisert formalisme var på den måten blitt utviklet basert på Hamilton-mekanikk og ledet av Arnold Sommerfeld i München og Max Born ved universitetet i Göttingen. Hele fremgangsmåten var basert på eksisterende, klassiske baner som måtte være periodiske. Men for de fleste, mekaniske system med flere enn to partikler hørte slike løsninger av bevegelsesligningene med til sjeldenhetene. Dette ble påpekt allerede av Albert Einstein i 1917 hvor han også understreket at kvantebetingelsene til Bohr og Sommerfeld ikke kunne være generelt gyldig da de kun kunne formuleres i spesielle koordinatsystem. Dette var året etter at han hadde lansert sin generelle relativitetsteori.

Etter at første verdenskrig var slutt i 1919, fortsatte likevel arbeidet med den gamle kvanteteorien. I München forsøkte Wolfgang Pauli å beregne energinivåene til det ioniserte hydrogenmolekylet H₂⁺ som består av tre partikler. Men han lyktes ikke å finne noen stabile tilstander. Likedan prøvde Werner Heisenberg i Göttingen å gjøre det samme for heliumatomet He som også består av tre partikler holdt sammen ved elektriske krefter. Heller ikke han kom frem til noen meningsfulle resultat. Det var på dette tidspunktet på slutten av 1924 at det ble mer og mer klart at disse gamle forestillingene om klassiske baner i atomfysikken måtte oppgis og erstattes med noe helt nytt. Dette lyktes også for Heisenberg sommeren 1925 da han kom frem til sin nye kvantemekanikk som la grunnlaget for et helt nytt verdensbilde.