Brøk

En brøk er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Tallet over brøkstreken kalles teller, og tallet under brøkstreken kalles nevner. Nevneren må være forskjellig fra null. Dersom teller er større enn nevner kalles brøken uekte, ellers kalles den ekte. En brøk hvor teller og nevner er heltall kalles et rasjonalt tall.

En brøk representerer det eksakte tallet man får ved å dividere telleren med nevneren. Eksemplet med ${\tfrac {2}{3}}$ representerer dermed 2 : 3, som uttrykt med desimalbrøk er ca. 0,6667. Dette tallet kan ikke skrives helt nøyaktig som desimaltall, så en brøk kan være nyttig hvis man ønsker å beregne noe helt nøyaktig.

I algebraen opererer man også med brøker hvor teller og/eller nevner er bokstavuttrykk. Disse kalles rasjonale uttrykk.

En stambrøk er en brøk med teller lik 1, for eksempel ${\tfrac {1}{7}}$.

Ekte og uekte brøker

Man skiller ofte mellom ekte og uekte brøker, hvor ekte brøker alltid representerer et tall som er (numerisk) mindre enn 1, f.eks. ${\frac {2}{3}}$. Hvis telleren er større eller lik nevneren, representerer brøken et tall som er større eller lik 1, og da er det snakk om en uekte brøk.

Uekte brøker kan også skrives som et såkalt blandet tall. For eksempel er ${\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{2}}$, og som blandet tall skrives denne brøken som $1{\frac {1}{2}}$.

Sammenlikning av brøker

Når man skal sammenlikne brøker, trenger man en minste felles nevner. Dermed kan man bare sammenlikne tellerne for å avgjøre om brøkene er like, eller hvilken som er størst og minst. Dette kan man oppnå ved utvidelse eller forkorting av brøkene.

Utvidelse

Utvidelse er den mest anvendelige metoden til å skaffe felles nevner. Ved å multiplisere («gange») telleren a og nevneren b med ett og samme tall, får man en "ny" brøk, som representerer samme tall som den opprinnelige brøken. Matematisk kan man skrive det slik:

${\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}$

Man sier da at brøken ${\frac {a}{b}}$ er blitt utvidet med tallet c. I eksemplet under utvides brøken ${\frac {2}{5}}$ med 3: For å skulle bruke utvidelse i sammenlegging av brøker må vi finne minste felles multiplum- det vil si det minste tallet som er delelig med alle nevnerne i det aktuelle tilfellet. Så utvider man brøkene slik at begge får en nevner lik dette.

${\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\frac {6}{15}}$

Legg merke til at ${\frac {2}{5}}$ og ${\frac {6}{15}}$ begge representerer det samme tallet, nemlig 0,4.

Forkorting

Hvis man kan finne et tall. c som er delelig på både teller og nevner (dvs. begge tall kan deles med c uten at der blir en rest) kaller man dette for nevnernes største felles divisor. Man kan da dividere telleren og nevneren med dette tallet og få en ny brøk som stadig representerer samme tall som den opprinnelige brøken. Dette kalles å forkorte en brøk, og matematisk kan det skrives slik:

${\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}$

Brøken ${\frac {a}{b}}$ sies å være forkortet med tallet c. I eksemplet under blir brøken ${\frac {6}{8}}$ forkortet med 2:

${\frac {6}{8}}={\frac {6:2}{8:2}}={\frac {3}{4}}$

Igjen ser man at både den opprinnelige brøken og resultatet av forkortelsen representerer samme tall, her 0,75.

Regneregler for brøk

Det fins en mengde regneregler som gjør det mulig å regne med brøker slik at man beholder den nøyaktige representasjonen av tallene.

Addisjon og subtraksjon

Hvis de to brøkene har samme nevner, kan man uten videre legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre ved å addere eller subtrahere tellerne, og bevare nevneren. Matematisk skrives dette slik:

${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$ hhv. ${\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}={\frac {a-b}{c}}$

I eksemplet under beregnes summen av ${\frac {1}{5}}$ og ${\frac {3}{5}}$:

${\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1+3}{5}}={\frac {4}{5}}$

Etter addisjonen (subtraksjonen) kan det hende at brøken man får til svar kan forkortes.

Hvis brøkene har ulike nevnere, blir det nødvendig å utvide den ene eller begge brøkene slik at de får like nevnere – brøkene representerer fremdeles de samme tallene selv om man utvider eller forkorter dem. Deretter kan de adderes eller subtraheres som nevnt over.

Man kan bruke produktet av de to nevnerne som felles nevner:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {c\cdot b}{d\cdot b}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}$

Legg merke til at den første brøken utvides med nevneren til den siste, og den siste brøken utvides med nevneren til den første. Dermed blir nevnerne nevnerne b · d og d · b, som jo er like.

I eksemplet under adderes brøkene ${\frac {1}{2}}$ og ${\frac {1}{3}}$:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {5}{6}}$

I det siste eksemplet subtraheres to brøker. Som fellesnevner velges her et tall som er mindre enn produktet av de opprinnelige nevnerne, men likevel blir det til slutt mulig å forkorte brøken:

${\frac {5}{6}}-{\frac {1}{10}}={\frac {5\cdot 5}{6\cdot 5}}-{\frac {1\cdot 3}{10\cdot 3}}={\frac {25}{30}}-{\frac {3}{30}}={\frac {22}{30}}={\frac {11}{15}}$

Multiplikasjon

Man multipliserer («ganger») to brøker med hverandre ved å multiplisere tellerne for seg og nevnerne for seg:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$

Resultatet etter multiplikasjonen kan muligens forkortes.

I dette eksempel multipliseres brøkene ${\frac {3}{5}}$ og ${\frac {1}{4}}$:

${\frac {3}{5}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {3\cdot 1}{5\cdot 4}}={\frac {3}{20}}$

Resiproke brøker

Man finner den resiproke til en brøk ved ganske enkelt at bytte om på brøkens teller og nevner:

${\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}$

For eksempel er den resiproke brøken til ${\frac {3}{4}}$ lik ${\frac {4}{3}}$. Denne uekte brøken kan forøvrig skrives som et blandet tall: $1{\frac {1}{3}}$.

Divisjon

Generelt gjelder at man kan dividere to tall ved å multiplisere dividenden med det resiproke tallet til divisoren, altså $a:b=a\cdot {\frac {1}{b}}$. Dette kan også brukes til divisjon av brøker, hvor beregningen ser slik ut:

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Skal man f.eks. dividere ${\frac {4}{5}}$ med ${\frac {2}{3}}$, foregår det på denne måten:

${\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {12}{10}}$

Denne uekte brøken kan forkortes til ${\frac {6}{5}}$. og skrives som et blandet tall: $1{\frac {1}{5}}$.

Brudden brøk

En brøk hvor teller og/eller nevner selv er en brøk kalles en brudden brøk. I eksempelet nedenfor kalles ${\frac {a}{b}}$ og ${\frac {c}{d}}$ for småbrøker, a og c for småtellere og b og d for «smånevnere». Brøkstreken mellom ${\frac {a}{b}}$ og ${\frac {c}{d}}$ kalles for hovedbrøkstrek. Brøken kan omregnes ved å omgjøre hovedbrøkstreken til divisjonstegn og bruke framgangsmåten for divisjon av brøker.

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Røtter og potenser

Man kan trekke n-te-roten av en brøk ved å trekke den samme roten av både teller og nevner:

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

For eksempel kan man ta kvadratroten (n = 2) av ${\frac {9}{16}}$ slik:

${\sqrt {\frac {9}{16}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {16}}}={\frac {3}{4}}$

Tilsvarende gjelder for den n-te potensen av en brøk:

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Logaritmer

Da en brøk egentlig er en divisjon, gjelder logaritmeregnereglen for divisjon også for en brøk. Altså er:

$log{\frac {a}{b}}=\log a-\log b$

Brøk som eksponent

Hvis en brøk opptrer som eksponenten i en potens (med positivt grunntall), kan uttrykket omskrives til en rot etter følgende prinsipp:

$10^{\frac {3}{5}}=\left({\sqrt[{5}]{10}}\right)^{3}$ eller $10^{\frac {3}{5}}={\sqrt[{5}]{10^{3}}}={\sqrt[{5}]{1000}}$

Desimaltall, prosent og promille

Et desimaltall (tidligere kalt desimalbrøk) er en alternativ måte å skrive en brøk på under forutsetning av at nevneren er et dekadisk tall (1 med et visst antall nuller bak, for eksempe 10, 100, 1 000. I ett desimaltall benytter man posisjonene etter komma i vårt titalssystem kalt desimaler:

Brøken ${\frac {7}{10}},{\frac {3}{100}},{\frac {37}{1000}}$ kan skrives på formen 0,7; 0,03 eller 0,037.

Periodiske desimaltall

Også periodiske desimaltal er rasjonale tall og kan skrives på brøkform:

$12,\!123123...=12+0,\!123123...=12+{\frac {123}{999}}=12{\frac {41}{333}}$

(sett a = 0,123123... så er 1 000a (= 123,123123... = 123 + 0,123123...) = 123 + a).

Prosent og promille

Prosent og promille er en annen måte å uttrykke desimalbrøk på: «Prosent» er hundredeler, og ordet betyr direkte oversatt «per hundre». Dermed er 20% = ${\frac {20}{100}}$. Tilsvarende betyr «promille» direkte oversatt «per tusen», og 3 ‰ er det samme som ${\frac {3}{1000}}$.

For svært små andeler – f.eks. i forbindelse med forurensninger og miljøgifter – brukes tilsvarende ppm («parts per million») for milliondeler og ppb («parts per billion») for milliarddeler. («Billion» er den engelske betegnelsen for det som på norsk heter «milliard», mens en «norsk» billion er 1000 milliarder.)

Ord og uttrykk i brøkregning

Teller

Telleren er det tallet som står over brøkstreken i en brøk. Memoteknisk har det vært vanlig å si at nevneren står nederst og telleren står på toppen.

I eksempelbrøken ${\tfrac {2}{3}}$ er tallet 2 teller og tallet 3 nevner.

Nevner

Nevneren er det tallet som står under brøkstreken i en brøk. Mnemoteknisk har det vært vanlig å si at nevneren står nederst (eller nedenfor) og telleren står på toppen.

I eksempelbrøken ${\tfrac {2}{3}}$ er tallet 3 nevner og tallet 2 teller.

Fellesnevner

Når man skal sammenlikne brøker eller addere eller subtrahere brøker trenger man en felles nevner. Dette oppnår man ved å bruke det minste felles multiplum - det vil si det minste tallet som er delelig med alle nevnerne i det aktuelle tilfellet. Er nevnerne i brøkene som skal adderes/subtraheres for eksempel 2, 3 og 5, blir fellesnevneren 30, idet 2 = 30:15, 3 = 30:10 og 5 = 30:6.

Fellesnevner brukes mye i overført betydning for å betegne noe som er felles for alle innenfor en gruppe. For eksempel: Fellesnevneren for nordmenn, svensker og dansker er at de er skandinaver. Ifølge matematisk logikk burde man heller bruke begrepet største felles divisor (tidligere kalt største felles mål) i denne sammenhengen, men språkbruksmessig er setningen korrekt.

Brøkstrek

Brøkstrek henviser vanligvis en vannrett strek som settes mellom teller (over streken) og nevner (under streken i brøkregning.

Markeringen av brøk skrevet på en linje gjøres med skråstreken: / som betyr det samme.

Brøker er egentlig deleregnestykker der man ikke foretar den endelige desimaltallutregningen før på slutten. Da brukes vanlig deletegn (:).

Eksterne lenker

• Brøk - matematikk.net
• Brøk og brøkregning
• Hva er en brøk? - matematikk.org