Euler-ligningene

Eulerligningene styrer bevegelsen til en kompressibel og ikke-viskøs væske i væskedynamikken. Ligningene er en enklere form av Navier-Stokes-ligningene med null viskositet og varmekonduksjon, men blir vanligvis skrevet slik som her, fordi de direkte representerer bevaring av masse, bevegelsesmengde og energi. Ligningene har fått navn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenker vi oss at den klassiske mekanikken gjelder, se relativistiske Eulerligninger for en diskusjon av kompressible væsker når farten nærmer seg lysfarten.

På differensial form er ligningene:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

${\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\mathbf {u} +\nabla p=0$

${\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0$

der $E=\rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2$ er den totale energien per volum ($e$ er den indre energien per masse for væsken), $p$ er trykket, $u$ er væskens fart og $\rho$ tettheten. Den andre ligningen inkluderer divergens av en binær tensor, og er kanskje klarere i indeksnotasjon:

${\partial \rho u_{j} \over \partial t}+{\partial \rho u_{i}u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0$

Merk at ligningene over er uttrykt på bevaringsform, siden denne formen legger vekt på det fysiske opphavet deres (og er den enkleste formen for datasimuleringer av væskedynamikk). Bevegelsesmengdekomponenten i Eulerligningene blir vanligvis uttrykt som:

$\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0$

men denne formen skjuler den direkte sammenhengen mellom Eulerligningene og Newtons andre bevegelsesligning (særlig er det ikke intuitivt hvorfor denne ligningen er korrekt og $\left(\partial /{\partial t}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right)(\rho {\mathbf {u} })+\nabla p=0$ ikke er korrekt).

I bevaringsvektorform blir Eulerligningene

${\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0$

der

$U={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}}\qquad G={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.\qquad$

Denne formen viser at $F,G,H$ er flukser.

Ligningen over representerer altså bevaring av masse, tre komponenter av bevegelsesmengde, og energi. Det er derimot fem ligninger og seks ukjente. For å få en lukket problemstilling må man bruke tilstandsligningen, og den mest vanlige formen av denne er den ideelle gassloven (f.eks. $p=\rho (\gamma -1)e$, der ρ er tettheten, γ er en adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkes som det mekaniske arbeidet som et væskeelement gjør på væskeelementene rundt. Disse leddene blir summert opp til null i en inkompressibel væske.

Den mer kjente Bernoulliligningen kan utledes ved å integrere Eulerligningene langs en strømlinje, hvis man setter tettheten til å være konstant.