Flate

En flate er et todimensjonalt, geometrisk objekt som vanligvis befinner seg i det tredimensjonale, euklidske rommet. Den kan være overflaten til et tredimensjonalt objekt som for eksempel en kuleflate, eller den kan være mer abstrakt og definert ved matematiske ligninger.

I motsetning til et plan, er en flate i alminnelighet ikke plan eller flat. Derimot vil den være krum definert ved en krumning. Denne geometriske egenskapen ble først systematisk undersøkt av den tyske matematiker og geodet Carl Friedrich Gauss for to hundre år siden.^[1]

Den nærmeste omegnen rundt hvert punkt på en topologisk flate er identisk med eller kan avbildes på en liten del av et todimensjonalt, euklidsk rom. Det kan benyttes til å koordinatisere punktene i omegnen. Kan også avstand mellom punktene og vinklene mellom linjer i hver omegn bestemmes, vil man kunne beskrive hele flatens egenskaper ved riemannsk geometri. Dette er en generalisering av euklidsk geometri. Hvis de to reelle koordinatene kan erstattes med en kompleks koordinat på en konsistent måte, har man med en Riemann-flate å gjøre. Matematisk sett har disse stor interesse. De kan systematisk klassifiseres ved deres genus som er et uttrykk for deres globale krumning.

Flater kan også defineres mer abstrakt som todimensjonale varieteter eller ved algebraiske funksjoner. Disse flatene vil i alminnelighet ha en mer komplisert topologi og kan skjære gjennom seg selv i singulære punkt eller linjer. Ofte kan de bedre forstås ved å beskrive dem i omsluttende rom med dimensjoner som er større en tre eller i projektive rom.

Matematisk beskrivelse

I et tredimensjonalt, kartesisk koordinatsystem vil en funksjon z = f(x,y) fremstille et punkt som ligger i høyde z over hvert punkt i xy-planet. Den vil derfor beskrive en todimensjonal flate. Er dette en algebraisk funksjon, sies den å beskrive en algebraisk flate.

Et velkjent eksempel er jordoverflaten som kan beskrives ved nullpunktene til polynomet F(x,y,z) = x² + y² + z² - R² når Jordens radius er R. Ligningen F(x,y,z) = 0 har da de to løsningene z = ± f(x,y) med

f(x,y)={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}

som dekker hele kuleflaten. Disse to løsningene tilsvarer den nordlige og sydlige del av jordoverflaten med ekvator gitt ved sirkelen x² + y² = R². Ved hjelp av disse to funksjonene kan man på denne måten beskrive hele den krumme flaten ved hjelp av koordinatene x og y som i utgangspunkt beskriver en sirkelskive med radius R i det flate xy-planet.^[2]

Alternativt kan man benytte geografiske koordinater som er lengdegrad φ og breddegrad θ. De kartesiske koordinatene til punktene på kuleflaten er da gitt som

x=R\sin \theta \cos \phi ,\;\;y=R\sin \theta \sin \phi ,\;\;z=R\cos \theta \cos \phi

som tilsvarer kulekoordinater for konstant radius. Disse tre funksjonene gir en entydig avbildning av det flate φθ-rektangelet med areal 2π × π på den krumme kuleflaten som selv har et areal lik med 4πR².

Kuleflaten kan også betraktes som en rotasjonsflate. Den fremkommer generelt fra en gitt kurve z = f(r) ved å rotere denne om z-aksen. Det betyr at man kan erstatte r med kvadratroten av x² + y² for å finne ligningen til flaten direkte fra kurveligningen. Den elliptiske paraboloiden z = x² + y² er en slik rotasjonsflate.

En annen, velkjent flate er sylinderflaten. Den kan man lage av et flatt rektangel ved å lime sammen to motsatte sider. Hvis man limer sammen begge par med motsatte sider, får man en torus eller smultring. Men da må papiret som benyttes, være elastisk fordi dette er en krum flate. Derimot hvis sammenlimingen skjer i et firedimensjonalt rom, kan stivt papir benyttes og torusen blir en flat flate.^[3] Både kuleflaten og torusen er viktige Riemann-flater.

En generell flate kan beskrives ved to koordinater (u,v ). Kan den legges inn i det tredimensjonale, euklidske rommet E³, kan hver punkt på flaten da angis ved posisjonsvektoren

\mathbf {r} (u,v)=x(u,v)\mathbf {i} +y(u,v)\mathbf {j} +z(u,v)\mathbf {k}

Disse todimensjonale koordinatene er interne til flaten, mens koordinatene (x,y,z) til rommet hvor flaten befinner seg, sies å være eksterne. Når disse funksjonene er kjent, kan geometrien til flaten beregnes basert på den euklidske geometrien til det omsluttende rommet. Det gir den intrinsikke geometrien til flaten som kan analyseres ved hjelp av de krumlinjete koordinatene (u,v). På den måten oppstår differensiell flategeometri som også gjør det mulig å beregne krumningen til flaten.

Normalvektor

Hvert punkt på en kurve i det tredimensjonale rommet E³ kan angis ved posisjonsvektoren $\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k}$ . Enhver tangentvektor til kurven er gitt som

{d\mathbf {r}  \over dt}={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} +{\dot {z}}(t)\mathbf {k}

hvor ${\dot {x}}=dx(t)/dt$ og tilsvarende for de andre deriverte med hensyn på parameteren $t$ . Skal kurven ligge i flaten $z=f(x,y)$ må komponentene til kurven oppfylle $z(t)=f(x(t),y(t))$ . Derfor er ${\dot {z}}=f_{x}{\dot {x}}+f_{y}{\dot {y}}$ hvor $f_{x}=\partial f(x,y)/\partial y$ og tilsvarende for den partiellderiverte $f_{y}$ . Sammenlignes dette med den generelle tangentvektoren, følger det at vektoren $\mathbf {N} =-f_{x}\mathbf {i} -f_{y}\mathbf {j} +\mathbf {k}$ er vinkelrett på denne,

\mathbf {N} \cdot {d\mathbf {r}  \over dt}=0

.

Da denne nye vektoren er uavhengig av egenskapene til kurven som er benyttet i utledningen, står den i hvert punkt på flaten normalt på alle tangentvektorer til flaten i dette punktet. Derfor sies den å være normalvektoren til flaten i dette punktet.

Ved bruk av høyrehåndsregelen kan man ved bruk av normalvektoren gå rundt en lukket kurve på en entydig måte i hvert punkt på flaten. Hvis denne kurven med sin omgangsretning flyttes kontinuerlig omkring, vil dens omgangsretning overalt være i overensstemmelse med normalvektoren på stedet hvis flaten er orienterbar. Det gjelder for de fleste flater. Kjente unntak er Möbius’ bånd og Kleins flaske.^[3]

Tangentplan

Alle tangentene til kurvene gjennom punktet $\mathbf {r} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ i flaten, ligger i et tangentplan som berører flaten i dette punktet. Da dette planet har normalvektoren N, er det gitt ved ligningen

\mathbf {N} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0

.

Her angir posisjonsvektoren $\mathbf {r}$ et vilkårlig punkt i planet slik at vektoren $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$ ligger i tangentplanet og står derfor vinkelrett på normalvektoren.

Som et eksempel kan man betrakte paraboloiden z = x² + y². Her blir f_x = 2x og f_y = 2y. Det gir direkte ligningen z - z₀ = 2x₀(x - x₀) + 2y₀(y - y₀) for tangentplanet til paraboloiden. For kuleflaten x² + y² + z² = R² finner man på samme måte ligningen xx₀ + yy₀ + yy₀ = R² for tangentplanet i punktet (x₀, y₀, z₀).

Linjerte flater

Man kan generere en sylinderflate ved å bevege en ett linje parallelt med seg selv slik at den går gjennom en gitt, lukket kurve som vanligvis er en sirkel. Likedan kan man lage en kjegleflate ved å la en linje gå gjennom et fast punkt og samtidig løpe gjennom punktene på en gitt, lukket kurve som vanligvis også er en sirkel. Begge disse flatene sies å være linjerte da de inneholder rette linjer.

Generelt kan man definere en linjert flate ved at det finnes interne koordinater (u,v) som gjør det mulig å skrive posisjonsvektoren til flaten som

\mathbf {r} (u,v)=\mathbf {r} _{1}(u)+v\mathbf {r} _{2}(u)

Når koordinaten u holdes fast, vil variasjon av v beskrive en linje som går fra punktet r₁ i retning r₂. Denne kalles for en «generatrise» i flaten. For hver ny verdi av u fremkommer en ny slik generatrise ved å variere v. De to funksjonene r₁(u) og r₂(u) sier hvordan disse linjene skal gå og kalles «direktriser». For en sylinderflate beskriver r₁(u) en sirkel, mens r₂ er en konstant vektor uavhengig av u. For en kjegleflate forholder det seg omvendt ved at r₁ er konstant og r₂(u) beskriver en sirkel.

Mens sylinderen og kjeglen begge inneholder en familie med rette linjer, er det andre flater som kan inneholde flere familier. Et eksempel er den hyperbolske paraboloiden

z={x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}

som er en dobbeltlinjert flate.^[2] De to familiene med generatriser kommer frem ved å splitte ligningen i to sett,

{x \over a}-{y \over b}={z \over u},\;\;{x \over a}+{y \over b}=u

eller

{x \over a}+{y \over b}={z \over v},\;\;{x \over a}-{y \over b}=v

.

hvor u og v er variable parametre. De to ligningene i hvert sett beskriver hver et plan. De to ligningen i hvert sett beskriver hver et plan. Da produktet av dem beskriver hyperboloiden, betyr det at deres skjæringslinje ligger i denne flaten og derfor er en generatrise. Gjennom hvert punkt på flaten går det en generatrise fra hver familie.

Ved å løse disse ligningene med hensyn på de kartesiske koordinatene, finner man

x=a(u+v),\;\;y=b(u-v),\;\;z=4uv

som gir en parametrisering av hyperboloiden. Hvert punkt på den kan da betegnes ved r(u,v) som kan omskrives til

(x,y,z)=u(a,b,0)+v(a,-b,4u)

Den dobbeltlinjerte paraboloiden *z = xy* med inntegnete generatriser.

ved å isolere parameteren v. Flaten er derfor linjert med en familie med generatriser i retning (a, -b, 4u). Den andre familien fremkommer ved å la u beskrive generatrisene. De vil da ligge i hyperboloiden med retninger (a, b, 4v). Generatrisene innen hver familie vil ikke skjære hverandre.

Ved koordinattransformasjon x/a - y/b → x, x/a + y/b → y går ligningen til hyperboloiden over til den enklere formen z = xy. En rett linje gjennom et punkt (x₀, y₀, z₀) må da gå parallelt med x- eller y-planet og derfor inneholde punktene

(x_{0}+u,y_{0},z_{0}+uy_{0})=(x_{0},y_{0},z_{0})+u(1,0,y_{0})

Den siste vektoren her angir retningen til generatrisene i denne familien. Linjene i den andre familien er på samme måte gitt som

(x_{0},y_{0}+v,z_{0}+vx_{0})=(x_{0},y_{0},z_{0})+v(0,1,x_{0})

Generatrisene tilhørende begge familiene er vist i figuren til høyre. Denne hyperbolske paraboloiden minner mest om en del av en sadelflate.

Hyperflater

Vanligvis tenker man seg en flate som et todimensjonalt, geometrisk objekt som er lagt inn i et rom med tre dimensjoner. Man kan også si litt mer abstrakt at det er en mangfoldighet eller varietetsom har en dimensjon som er én mindre enn det omsluttende rom har. Hvis dette har dimensjon n, så vil en innlagt mangfoldighet med dimensjon n - 1 kalles en hyperflate. Dette tilsvarer definisjonen av et hyperplan i rom med høyere dimensjoner.

På samme måte som vanlige flater er karakterisert ved å være beskrevet implisitt ved en enkel ligning, vil også hyperflater være gitt ved en slik ligning som inneholder koordinatene til det omsluttende rommet. Som et eksempel kan man betrakte ligningen

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1

som definerer en hyperflate med dimensjon n - 1 i et n-dimensjonalt rom. I analogi med situasjonen for n = 3, kalles dette for en hyperkuleflate.

Se også

Referanser

^ J. Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, New York (2010). ISBN 978-1441960528.
^ ^a ^b R. Tambs-Lyche, Matematisk Analyse, Bind II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
^ ^a ^b D. W. Blackett, Elementary Topology, Academic Press, London (1982). ISBN 0-12-103060-1.

Litteratur

M. R. Spiegel, Vector Analysis, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
E. Kreyzig, Differential Geometry, Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.

[Stillwell-1] J. Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, New York (2010). ISBN 978-1441960528.

[TL-2-2] R. Tambs-Lyche, Matematisk Analyse, Bind II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).

[Blackett-3] D. W. Blackett, Elementary Topology, Academic Press, London (1982). ISBN 0-12-103060-1.

[1]

[2]

[3]