Runge-Lenz-vektor

I en ellipseformet planetbane står dreieimpulsen L vinkelrett på baneplanet, mens Runge-Lenz-vektoren A ligger i dette planet sammen med binormalen B.

Runge-Lenz-vektor er en konstant vektor som opptrer i beskrivelsen av et astronomisk objekt som beveger seg om et annet ifølge Newtons gravitasjonslov. Mens den konstante dreieimpulsen L til bevegelsen er vinkelrett på bevegelsesplanet, ligger Runge-Lenz-vektoren A i dette planet.

Den kan benyttes i astronomien til å vise at bevegelsen til en planet er ellipseformet i overensstemmelse med Keplers første lov og at en elektrisk ladet partikkel følger en hyperbel ved Coulomb-spredning uten å måtte løse noen av bevegelsesligningene.

Før Schrödinger-ligningen ble benyttet til å beregne energinivåene til hydrogenatomet, ble de funnet ved rent algebraiske metoder basert på de to konstante vektorene L og A. Eksistensen av den ekstra, bevarte Runge-Lenz-vektoren skyldes at både gravitasjonskraften og Coulomb-kraften varierer som kvadratet av den inverse avstanden mellom objektene. Dette gir de tilsvarende bevegelsene en høyere symmetri enn for system som er styrt av andre, sentralsymmetriske krefter.

Navnet til vektoren er forbundet med Carl Runge som oversatte en bok av Josiah Willard Gibbs om vektoranalyse hvor den inngikk og Wilhelm Lenz som benyttet den i halv-klassisk atomfysikk. Tidligere var den studert av Pierre-Simon Laplace og Johann Bernoulli.

Matematisk utledning

Kraften på en partikkel som beveger seg under påvirkning av gravitasjonskraften fra en annen masse eller Coulomb-kraften fra en annen ladning, har formen

$\mathbf {F} =-k{\mathbf {r} \over r^{3}}$

hvor vektoren r = r(t) angir dens posisjon i forhold til kraftsenteret og k  er en konstant. Den vil ha en hastighet v = d r/dt og en impuls p = m v når den har en masse m. Dermed vil den også ha en dreieimpuls L = r × p. Da bevegelsen er gitt ved Newtons andre ligning d p/dt = F, følger med en gang at

${d\mathbf {L} \over dt}={d\mathbf {r} \over dt}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {d\mathbf {p} \over dt}=0$

slik at dreieimpulsen er en konstant eller «bevart» vektor.

Men for denne spesielle kraftloven finnes det også en annen, bevart vektor som kan utledes fra

${\begin{aligned}{d\mathbf {p} \over dt}\times \mathbf {L} &=-{k \over r^{3}}\mathbf {r} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\\&={k \over r^{3}}\left[\mathbf {p} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )-\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\right]\end{aligned}}$

når man skriver ut det vektorielle trippelproduktet som opptrer her. Den spesielle kombinasjonen av vektorer som opptrer på høyre side, oppstår også ved utregning av

${d \over dt}{\mathbf {r} \over r}={1 \over r^{3}}\!\left[{d\mathbf {r} \over dt}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )-\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot {d\mathbf {r} \over dt})\right]$

Det betyr at den tidsderiverte av vektoren

$\mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\mathbf {r} \over r}$

er null og er derfor konstant under partikkelens bevegelse. Dette er Runge-Lenz-vektoren. I litteraturen kan den være definert med motsatt fortegn eller med en annen, felles multiplikativ faktor.

Egenskaper

Runge-Lenz-vektoren er den samme uansett hvor i banen partikkelen befinner seg.

Baneplanet til partikkelen er definert ved r⋅L = 0 og inneholder også vektorproduktet p × L. Runge-Lenz-vektoren ligger derfor i dette planet. Dens lengde er

${\begin{aligned}A^{2}&=p^{2}L^{2}+m^{2}k^{2}-2m{k \over r}\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)\\&=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}\end{aligned}}$

fordi r⋅(p × L) = (r × p)⋅L = L² og E = p²/2m - k/r er energien til partikkelen i banen.

Banens form er gitt ved skalarproduktet

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr$

som dermed følger fra ligningen

${\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)$

Den beskriver et kjeglesnitt med semi-latus rectum p = L²/mk og som har eksentrisitet e = A/mk. Denne er derfor større eller mindre enn én alt etter som A > mk eller A < mk. Da bundne baner har energi E < 0, vil de derfor være ellipser, mens åpne baner er hyperbler da de har postiv energi. Dette er i overensstemmelse med Keplers lover.

For snart to hundre år siden studerte William Rowan Hamilton vektoren

$\mathbf {B} =\mathbf {p} +\left({\frac {mk}{rL^{2}}}\right)(\mathbf {r} \times \mathbf {L} )$

som er definert ved at A = B × L. Den står vinkelrett på Runge-Lenz-vektoren og ligger i samme plan som denne. Vanligvis omtales den som banens binormal.

Hamiltons hodograf

Hamilton studerte hvordan bevegelsen til en partikkel kan uttrykkes ved hastigheten v = d r/dt  istedenfor ved posisjonen r = r(t ). En grafisk fremstilling av hvordan vektoren v = v(t ) varierer med tiden, kalles da bevegelsens hodograf.

Ved å kvadrere vektoren $mk\mathbf {r} /r=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A} ,$ finner man sammenhengen

$(mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} )$

Den kan forenkles ved å la dreieimpulsen L være langs z-aksen slik at bevegelsen skjer i xy-planet. Hvis man så velger Runge-Lenz-vektoren A langs x-aksen, finner man

$p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=(mk/L)^{2}$

Da impulsvektorene p er proporsjonal med de forskjellige hastighetene v langs banen, ligger disse på en sirkel med radius mk/L og senter på y-aksen i punktet (0,A/L). Hodografen for en Kepler-bevegelse er derfor alltid en sirkel uavhengig av eksentrisiteten til banen. I det spesielle tilfellet at selve partikkelbevegelsen er sirkulær, er A = 0 og hodografen har sitt senter også i origo.

Denne sirkulære hodografen spiller også en sentral rolle i Richard Feynmans «fortapte forelesning» ved Caltech i 1964. Han ville der forklare ved rent geometriske argument hvordan Newton kunne vise fra sin gravitasjonslov at planetene fulgte ellipseformede baner.

Poisson-klammer

Istedenfor Newtons bevegelseslover kan man benytte de som inngår i den mer generelle formalismen for Hamilton-mekanikk. Posisjonen og impulsen til partikkelen følger da lovene

${d\mathbf {r} \over dt}=[\mathbf {r} ,H],\;\;{d\mathbf {p} \over dt}=[\mathbf {p} ,H]$

hvor Hamilton-funksjonen $H=\mathbf {p} ^{2}\!/2m-k/r\,$ er energien E  til partikkelen. Disse bevegelseslovene er uttrykte ved Poisson-klammer som for to generelle variable $A(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )$ og $B(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )$ er definert som

$[A,B]={\partial A \over \partial x_{n}}{\partial B \over \partial p_{n}}-{\partial B \over \partial x_{n}}{\partial A \over \partial p_{n}}$

hvor man på høyre side summerer over de to like indeksene. Den fundamentale eller kanoniske Poisson-klammen er $[x_{m},p_{n}]=\delta _{mn}$ når den uttrykkes ved Kronecker-deltaet. Man har da generelt at $[p_{k},A(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )]=-\partial A/\partial x_{k}.$ Herav følger at $[\mathbf {p} ,H]=-k\mathbf {r} /r^{3}$ som er Newtons andre lov.

Ved bruk av det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet kan komponentene til dreieimpulsen L = r × p skrives som L_k = ε_kmn x_m p_n når man igjen summerer over like indekser. Dermed blir [L_k, 1/r ] = 0 og [L_k, p²] = 0 når man gjør bruk av en nyttige identiteten [A, BC] = B [A,C] + [A,B]C. Dreieimpulsen er derfor en konstant vektor da [L, H] = 0. Generelt er Poisson-klammen for L med alle skalare størrelser lik med null.

Da man har at $[L_{m},x_{n}]=\varepsilon _{mnk}x_{k}$ og $[L_{m},p_{n}]=\varepsilon _{mnk}p_{k}$ vil man for en generell vektor V ha Poissson-klammen $[L_{m},V_{n}]=\varepsilon _{mnk}V_{k}$. Dette må gjelde også for L selv som verifiseres ved direkte utregning. Benytter man da sammenhengen $\varepsilon _{kij}\varepsilon _{kmn}=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm},$ finner man

$[L_{m},L_{n}]=x_{m}p_{n}-x_{n}p_{m}=\varepsilon _{mnk}L_{k}$

Dette må gjelde også for Runge-Lenz-vektoren med komponenter

$A_{n}=\varepsilon _{nmk}L_{m}p_{k}-mk{x_{n} \over r}$

som gir

$[L_{m},A_{n}]=\varepsilon _{mnk}A_{k}$

ved direkte utregning. Denne vektoren er også bevart slik at [A, H] = 0. Det følger på samme måte fra

${\begin{aligned}&\left[A_{n},H\right]=-k\,\varepsilon _{nmk}L_{m}\left[p_{k},{1 \over r}\right]-k\left[{x_{n} \over r},p_{m}\right]p_{m}\\&={k \over r^{3}}(\mathbf {L} \times \mathbf {r} )_{n}-{k \over r^{3}}\left[p_{n}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )-x_{n}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\right]=0\end{aligned}}$

fordi de to termene på høyre side kansellerer hverandre. Det betyr igjen at Poisson-klammen [A_m,A_n] også er en bevart størrelse. Direkte utregning gir nå at

$[A_{m},A_{n}]=-2mH\varepsilon _{mnk}L_{k}$

som bekrefter at dette er tilfelle.

For alle sentralsymmetriske system der potensialet V = V(r ) er dreieimpulsen L en bevart vektor. At Kepler-problemet har i tillegg en annen, bevart vektor A skyldes at V  varierer omvendt proporsjonalt med avstanden r. I den kvantemekaniske beskrivelsen av hydrogenatomet vil det av samme grunn også finnes to bevarte størrelser L og A som har kommutatorer med samme form som disse klassiske Poisson-klammene. Det var det Wolfgang Pauli benyttet høsten 1925 til å beregne energinivåene i dette atomet rent algebraisk noen måneder før Erwin Schrödinger fant det samme resultatet ved å løse sin Schrödinger-ligning med analytiske metoder.